Продолжим изучение элементов теории множеств, познакомимся с операциями пересечения и объединения множеств.
Определение 1. Пересечением множеств А и В называют множество, состоящее из всех общих элементов множеств А и В, т. е. из всех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Обозначение: А ∩ В, Символ ∩ — знак пересечения.
Таким образом, А ∩ В = { х | х ∈ А и х ∈ В}. Запить «х |» читают так: «из элементов х таких, что…».
Для наглядного объяснения операций над множествами удобно использовать изображение множеств в виде кругов Эйлера. На рисунке 3 с помощью кругов Эйлера дана иллюстрация операции пересечения двух множеств.
Можно рассматривать пересечения не только двух, но и трёх, четырёх и т. д. множеств. Например, пересечением множеств А, В и С называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В, и множеству С (рис. 4). Пересечение множеств А, В и С обозначают так: А ∩ В ∩ С.
Использование операции пересечения множеств в математике соответствует использованию союза «и» в русском языке. Родственный ему союз «или» связан с другой операцией над множествами — операцией объединения.
Определение 2. Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств: множеству А или множеству В (рис. 5). Обозначение: А ∪ В. Символ ∪ — знак объединения.
Таким образом, А ∪ В = { х | х ∈ А или х ∈ В}.