Математическая вертикаль Алгебра (п/р Ященко И.В.) Контрольная работа по алгебре в 8 классе с ответами «Рациональные выражения и уравнения» Угл.уровень 2 варианта. Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета). Код материала: Вертикаль Алгебра Ященко КР-5 угл.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.
Алгебра 8 класс (Ященко)
Контрольная № 5. Угл.уровень
Проверяемая тема учебника: Модуль 5. Рациональные выражения и уравнения
Углубленный уровень. 1 вариант
Решение некоторых задач Варианта 1
Задача 5. Поля и Уля вместе пропалывают грядку за 45 минут, а одна Поля — за 126 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Уля?
Решение:
1. Пусть работа по прополке грядки равна 1.
2. Производительность Поли: \( \frac{1}{126} \) грядки в минуту.
3. Производительность Поли и Ули вместе: \( \frac{1}{45} \) грядки в минуту.
4. Производительность Ули:
\[
\frac{1}{45} — \frac{1}{126} = \frac{14}{630} — \frac{5}{630} = \frac{9}{630} = \frac{1}{70}
\]
5. Значит, Уля пропалывает грядку за \( 70 \) минут.
✅ Ответ: 70 минут.
Проверка:
За 45 минут Поля сделает \( \frac{45}{126} = \frac{5}{14} \) работы, Уля — \( \frac{45}{70} = \frac{9}{14} \) работы. Вместе: \( \frac{5}{14} + \frac{9}{14} = 1 \) — верно.
Задача 6. Из города А в город В одновременно выехали велосипедист и мотоциклист. Расстояние между городами равно 150 км. Скорость мотоциклиста на 50 км/ч больше скорости велосипедиста, и в В он приехал на 4 часа раньше, чем велосипедист. Найдите скорость мотоциклиста.
Решение:
1. Пусть скорость велосипедиста \( x \) км/ч, тогда скорость мотоциклиста \( x + 50 \) км/ч.
2. Время велосипедиста: \( \frac{150}{x} \) ч.
3. Время мотоциклиста: \( \frac{150}{x+50} \) ч.
4. Разница во времени:
\[
\frac{150}{x} — \frac{150}{x+50} = 4
\]
5. Делим на 2:
\[
\frac{75}{x} — \frac{75}{x+50} = 2
\]
6. Умножаем на \( x(x+50) \):
\[
75(x+50) — 75x = 2x(x+50)
\]
\[
3750 = 2x^2 + 100x
\]
\[
2x^2 + 100x — 3750 = 0
\]
\[
x^2 + 50x — 1875 = 0
\]
7. Дискриминант:
\[
D = 2500 + 7500 = 10000, \quad \sqrt{D} = 100
\]
\[
x = \frac{-50 + 100}{2} = 25 \quad (\text{скорость положительна})
\]
8. Скорость мотоциклиста: \( 25 + 50 = 75 \) км/ч.
✅ Ответ: 75 км/ч.
Проверка:
Время мотоциклиста: \( \frac{150}{75} = 2 \) ч.
Время велосипедиста: \( \frac{150}{25} = 6 \) ч.
Разница: \( 6 — 2 = 4 \) ч — верно.
Задача 7. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 30 км/ч. Обратно он летел на самолёте со средней скоростью 420 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути.
Решение:
1. Пусть расстояние в одну сторону \( S \) км.
2. Время на яхте: \( \frac{S}{30} \) ч.
3. Время на самолёте: \( \frac{S}{420} \) ч.
4. Общий путь: \( 2S \) км.
5. Общее время:
\[
\frac{S}{30} + \frac{S}{420} = S\left( \frac{1}{30} + \frac{1}{420} \right) = S\left( \frac{14}{420} + \frac{1}{420} \right) = \frac{15S}{420} = \frac{S}{28}
\]
6. Средняя скорость:
\[
v_{\text{ср}} = \frac{2S}{\frac{S}{28}} = 2S \cdot \frac{28}{S} = 56 \ \text{км/ч}
\]
✅ Ответ: 56 км/ч.
Проверка:
Пусть \( S = 420 \) км (для удобства).
Время туда: \( \frac{420}{30} = 14 \) ч.
Время обратно: \( \frac{420}{420} = 1 \) ч.
Общее время: \( 15 \) ч, общий путь: \( 840 \) км.
Средняя скорость: \( \frac{840}{15} = 56 \) км/ч — верно.
Задача 8. Две турбазы расположены на реке, и расстояние между ними по реке составляет 36 км. Моторная лодка, двигаясь с постоянной скоростью, затрачивает 5 часов на рейс туда и обратно между этими турбазами. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Решение:
1. Пусть скорость лодки в стоячей воде \( x \) км/ч (\( x > 3 \)).
2. Скорость по течению: \( x + 3 \) км/ч.
3. Скорость против течения: \( x — 3 \) км/ч.
4. Время туда (по течению): \( \frac{36}{x+3} \) ч.
5. Время обратно (против течения): \( \frac{36}{x-3} \) ч.
6. Уравнение:
\[
\frac{36}{x+3} + \frac{36}{x-3} = 5
\]
7. Умножим на \( (x+3)(x-3) \):
\[
36(x-3) + 36(x+3) = 5(x^2 — 9)
\]
\[
36x — 108 + 36x + 108 = 5x^2 — 45
\]
\[
72x = 5x^2 — 45
\]
\[
5x^2 — 72x — 45 = 0
\]
8. Дискриминант:
\[
D = 5184 + 900 = 6084, \quad \sqrt{D} = 78
\]
\[
x = \frac{72 \pm 78}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{72 + 78}{10} = 15, \quad x_2 = \frac{72 — 78}{10} = -0.6 \ (\text{не подходит})
\]
✅ Ответ: 15 км/ч.
Проверка:
По течению: \( \frac{36}{18} = 2 \) ч.
Против течения: \( \frac{36}{12} = 3 \) ч.
Всего: \( 2 + 3 = 5 \) ч — верно.
Углубленный уровень. 2 вариант
Решение некоторых задач Варианта 2
Задача 5. Даша и Глаша вместе пропалывают грядку за 40 минут, а одна Даша — за 104 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Глаша?
Решение:
Пусть \( x \) — время (в минутах), за которое Глаша пропалывает грядку одна.
Производительность Даши: \( \frac{1}{104} \) грядки в минуту.
Производительность Глаши: \( \frac{1}{x} \) грядки в минуту.
Их совместная производительность: \( \frac{1}{104} + \frac{1}{x} \).
По условию вместе они работают 40 минут:
\[
\left( \frac{1}{104} + \frac{1}{x} \right) \cdot 40 = 1
\]
\[
\frac{1}{104} + \frac{1}{x} = \frac{1}{40}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{40} — \frac{1}{104}
\]
Приведём к общему знаменателю \( 1040 \):
\[
\frac{1}{40} = \frac{26}{1040}, \quad \frac{1}{104} = \frac{10}{1040}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{26 — 10}{1040} = \frac{16}{1040} = \frac{2}{130} = \frac{1}{65}
\]
\[
x = 65
\]
Проверка:
Производительность Даши: \( \frac{1}{104} \), Глаши: \( \frac{1}{65} \).
Сумма: \( \frac{1}{104} + \frac{1}{65} = \frac{5}{520} + \frac{8}{520} = \frac{13}{520} = \frac{1}{40} \).
Вместе за 40 минут: \( \frac{1}{40} \cdot 40 = 1 \) грядка — верно.
✅ Ответ: 65 минут.
Задача 6. Из города А в город В одновременно выехали велосипедист и мотоциклист. Расстояние между городами равно 150 км. Скорость мотоциклиста на 35 км/ч больше скорости велосипедиста, и в В он приехал на 3,5 часа раньше, чем велосипедист. Найдите скорость мотоциклиста.
Решение:
Пусть скорость велосипедиста \( v \) км/ч, тогда скорость мотоциклиста \( v + 35 \) км/ч.
Время велосипедиста: \( \frac{150}{v} \) ч.
Время мотоциклиста: \( \frac{150}{v+35} \) ч.
Разница во времени:
\[
\frac{150}{v} — \frac{150}{v+35} = 3{,}5
\]
Умножим на \( v(v+35) \):
\[
150(v+35) — 150v = 3{,}5 v(v+35)
\]
\[
150v + 5250 — 150v = 3{,}5 v^2 + 122{,}5 v
\]
\[
5250 = 3{,}5 v^2 + 122{,}5 v
\]
Делим на 3,5:
\[
1500 = v^2 + 35 v
\]
\[
v^2 + 35 v — 1500 = 0
\]
Дискриминант: \( D = 35^2 + 4 \cdot 1500 = 1225 + 6000 = 7225 \).
Корень: \( \sqrt{7225} = 85 \).
\[
v = \frac{-35 + 85}{2} = \frac{50}{2} = 25
\]
(второй корень отрицательный).
Скорость мотоциклиста: \( v + 35 = 25 + 35 = 60 \) км/ч.
Проверка:
Время велосипедиста: \( \frac{150}{25} = 6 \) ч.
Время мотоциклиста: \( \frac{150}{60} = 2{,}5 \) ч.
Разница: \( 6 — 2{,}5 = 3{,}5 \) ч — верно.
✅ Ответ: 60 км/ч.
Задача 7. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на самолёте со средней скоростью 380 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути.
Решение:
Пусть расстояние в одну сторону \( S \) км.
Время на яхте: \( t_1 = \frac{S}{20} \) ч.
Время на самолёте: \( t_2 = \frac{S}{380} \) ч.
Общий путь: \( 2S \) км.
Общее время: \( t_1 + t_2 = \frac{S}{20} + \frac{S}{380} \).
Средняя скорость:
\[
v_{\text{ср}} = \frac{2S}{\frac{S}{20} + \frac{S}{380}} = \frac{2}{\frac{1}{20} + \frac{1}{380}}
\]
\[
\frac{1}{20} + \frac{1}{380} = \frac{19}{380} + \frac{1}{380} = \frac{20}{380} = \frac{1}{19}
\]
\[
v_{\text{ср}} = \frac{2}{\frac{1}{19}} = 2 \cdot 19 = 38 \text{ км/ч}
\]
✅ Ответ: 38 км/ч.
Задача 8. Две турбазы расположены на реке, и расстояние между ними по реке составляет 80 км. Моторная лодка, двигаясь с постоянной скоростью, затрачивает 9 часов на рейс туда и обратно между этими турбазами. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
Решение:
Пусть \( x \) км/ч — скорость лодки в стоячей воде.
Скорость по течению: \( x + 2 \) км/ч.
Скорость против течения: \( x — 2 \) км/ч.
Время по течению: \( \frac{80}{x+2} \) ч.
Время против течения: \( \frac{80}{x-2} \) ч.
Сумма времени:
\[
\frac{80}{x+2} + \frac{80}{x-2} = 9
\]
Умножим на \( (x+2)(x-2) \):
\[
80(x-2) + 80(x+2) = 9(x^2 — 4)
\]
\[
80x — 160 + 80x + 160 = 9x^2 — 36
\]
\[
160x = 9x^2 — 36
\]
\[
9x^2 — 160x — 36 = 0
\]
Дискриминант: \( D = (-160)^2 + 4 \cdot 9 \cdot 36 = 25600 + 1296 = 26896 \).
Корень: \( \sqrt{26896} = 164 \) (проверим: \( 164^2 = 26896 \)).
\[
x = \frac{160 + 164}{2 \cdot 9} = \frac{324}{18} = 18
\]
(второй корень \( \frac{160 — 164}{18} < 0 \) не подходит).
Проверка:
По течению: \( \frac{80}{20} = 4 \) ч.
Против течения: \( \frac{80}{16} = 5 \) ч.
Сумма: \( 4 + 5 = 9 \) ч — верно.
✅ Ответ: 18 км/ч.
Контрольная работа № 5 (базовый уровень)
Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре в 8 классе с ответами «Рациональные выражения и уравнения» (2 уровня по 2 варианта). Код материала: Вертикаль Алгебра Ященко КР-5.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.