Математическая вертикаль Алгебра (п/р Ященко И.В.) Контрольная работа по алгебре в 8 классе с ответами «Степень с целым показателем» Углубленный уровень, 2 варианта. Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета). Код материала: Вертикаль Алгебра Ященко КР-7 угл.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.
Алгебра 8 класс (Ященко)
Контрольная № 7. Угл.уровень
Проверяемая тема учебника: Модуль 7. Степень с целым показателем.
Углубленный уровень. 1 вариант
Задача 1. Запишите число в стандартном виде:
а) 28 000; б) 0,0034; в) 320 • 10^3; г) 39 • 10^7; д) 45 • 10^–4.
✅ Ответ: а) 2,8 • 10^4; б) 3,4 • 10^–3; в) 3,2 • 10^5; г) 3,9 • 10^8; д) 4,5 • 10^–3.
Задача 2. Округлите число до единиц и найдите абсолютную и относительную погрешность округления: а) 3,45; б) 1,947.
✅ Ответ: а) 3; 0,45; 15%; б) 2; 0,053; 2,7%.
Задача 3. Преобразуйте выражение (3^–1•a^3•b^–5•c^–7) / (2,6^0•x^–5•y^0•z^–30) так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями.
✅ Ответ: (a³x⁵z³⁰) / (3b⁵c⁷).
Задача 4. Представьте выражение (︂a^7 / b^–3)︂^–4 • ((︂a^–3)︂/(a^-3/b^9))^-12 в виде степени произведения.
✅ Ответ: (︀ab¹²)︀8.
Решение:
1. Упростим первую скобку: \(\frac{a^7}{b^{-3}} = a^7 \cdot b^3\). Возводим в степень \(-4\):
\((a^7 b^3)^{-4} = a^{-28} b^{-12}\).
2. Упростим вторую скобку: \(\frac{a^{-3}}{b^9} = a^{-3} \cdot b^{-9}\). Возводим в степень \(-12\):
\((a^{-3} b^{-9})^{-12} = a^{36} b^{108}\).
3. Перемножаем: \(a^{-28} b^{-12} \cdot a^{36} b^{108} = a^{-28+36} b^{-12+108} = a^8 b^{96}\).
4. Представляем как степень произведения: \((a b^{12})^8\).
Задача 5. Вычислите приближённо, округлив данные числа и результат до десятых:
а) 3,09 + 94,976; б) 6,68 – 5,81; в) 0,769 + 42,389; г) 5,8 – 22,191.
✅ Ответ: а) 98,1; б) 0,9; в) 43,2; г) –16,4.
Решение. Округляем каждое число до десятых:
а) 3,09 ≈ 3,1; 94,976 ≈ 95,0. Сумма: 3,1 + 95,0 = 98,1.
б) 6,68 ≈ 6,7; 5,81 ≈ 5,8. Разность: 6,7 – 5,8 = 0,9.
в) 0,769 ≈ 0,8; 42,389 ≈ 42,4. Сумма: 0,8 + 42,4 = 43,2.
г) 5,8 ≈ 5,8; 22,191 ≈ 22,2. Разность: 5,8 – 22,2 = –16,4.
Задача 6. Вычислите приближённо, округлив данные числа и результат до второй значащей цифры:
а) 6,78 : 5,08; б) 77,9478 : 34,38; в) 95,381 • 3,219; г) 8,9021 • 0,68.
✅ Ответ: а) 1,3; б) 2,3; в) 300; г) 6,1.
Решение. Округляем до двух значащих цифр:
а) 6,78 ≈ 6,8; 5,08 ≈ 5,1. Деление: 6,8 : 5,1 ≈ 1,333… Округляем до двух значащих цифр: 1,3.
б) 77,9478 ≈ 78; 34,38 ≈ 34. Деление: 78 : 34 ≈ 2,294… Округляем: 2,3.
в) 95,381 ≈ 95; 3,219 ≈ 3,2. Умножение: 95 • 3,2 = 304. Округляем до двух значащих цифр: 300.
г) 8,9021 ≈ 8,9; 0,68 ≈ 0,68 (уже две значащие). Умножение: 8,9 • 0,68 = 6,052. Округляем: 6,1.
Задача 7. Упростите выражение (︂(8p^–4) / (3q^-1)︂^–2 • (︀4p^–6•q^3)︀^3.
✅ Ответ: (9q⁷) / (p¹⁰).
Решение:
1. Первая скобка:
\(\frac{8p^{-4}}{3q^{-1}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{p^{-4}}{q^{-1}} = \frac{8}{3} p^{-4} q^{1}\).
Возводим в степень \(-2\):
\(\left( \frac{8}{3} \right)^{-2} \cdot p^{8} \cdot q^{-2} = \frac{9}{64} p^{8} q^{-2}\).
2. Вторая скобка:
\((4p^{-6} q^3)^3 = 4^3 \cdot p^{-18} \cdot q^9 = 64 p^{-18} q^9\).
3. Перемножаем:
\(\frac{9}{64} p^{8} q^{-2} \cdot 64 p^{-18} q^9 = 9 \cdot p^{8-18} \cdot q^{-2+9} = 9 p^{-10} q^{7}\).
4. Записываем без отрицательной степени:
\(\frac{9 q^7}{p^{10}}\).
Задача 8. Для того чтобы связать шапку на обхват головы 55 см Юлия Александровна связала образец и посчитала, что плотность её вязания 12 петель в 7 см. Сколько петель ей необходимо набрать, если для плотного облегания шапка должна быть примерно на 12% уже, чем обхват головы, а для рисунка необходимо чётное количество петель?
✅ Ответ: 82.
Решение:
1. Находим нужный обхват шапки:
\(55 \cdot (1 — 0,12) = 55 \cdot 0,88 = 48,4\) см.
2. Плотность: 12 петель на 7 см. Находим количество петель на 1 см:
\(12 : 7 \approx 1,7142857\) петель/см.
3. Умножаем на нужный обхват:
\(48,4 \cdot 1,7142857 \approx 82,9714\) петель.
4. Округляем до ближайшего чётного числа: 82 (несмотря на то, что 82,97 ближе к 83, но 83 нечётное, поэтому берём 82, оно — чётное).
Задача 9. Упростите выражение (︂a^–5/(a^-5 — 6) – (2a^–5)/(a^-10 – 12a^-5 + 36)) • (36 – a^-10)/(a^-5 — 8) + (12a^-5)/(a^-5 — 6).
✅ Ответ: –1/a5.
Решение:
Сделаем замену: \(x = a^{-5}\). Тогда выражение примет вид:
\(\left( \frac{x}{x-6} — \frac{2x}{x^2 — 12x + 36} \right) \cdot \frac{36 — x^2}{x — 8} + \frac{12x}{x-6}\).
1. Заметим, что \(x^2 — 12x + 36 = (x-6)^2\).
\(\frac{x}{x-6} — \frac{2x}{(x-6)^2} = \frac{x(x-6) — 2x}{(x-6)^2} = \frac{x^2 — 6x — 2x}{(x-6)^2} = \frac{x^2 — 8x}{(x-6)^2} = \frac{x(x-8)}{(x-6)^2}\).
2. Умножаем на \(\frac{36 — x^2}{x-8}\). Заметим, что \(36 — x^2 = (6-x)(6+x) = -(x-6)(x+6)\).
Получаем:
\(\frac{x(x-8)}{(x-6)^2} \cdot \frac{-(x-6)(x+6)}{x-8} = \frac{x \cdot (-(x+6))}{x-6} = -\frac{x(x+6)}{x-6}\).
3. Теперь прибавляем \(\frac{12x}{x-6}\):
\(-\frac{x(x+6)}{x-6} + \frac{12x}{x-6} = \frac{-x(x+6) + 12x}{x-6} = \frac{-x^2 — 6x + 12x}{x-6} = \frac{-x^2 + 6x}{x-6} = \frac{-x(x-6)}{x-6} = -x\).
4. Возвращаем замену: \(-x = -a^{-5} = -\frac{1}{a^5}\).
Задача 10. Вычислите, используя формулу (1 + a)2 ≈ 1 + 2a, и оцените абсолютную погрешность получившегося приближённого значения: а) (1,01)²; б) (0,999)².
✅ Ответ: а) 1,02 ± 0,0001; б) 0,998 ± 0,000001.
Решение:
а) Представим \(1,01 = 1 + 0,01\). Тогда \(a = 0,01\).
Приближение: \(1 + 2 \cdot 0,01 = 1,02\).
Точное значение: \(1,01^2 = 1,0201\).
Абсолютная погрешность: \(|1,0201 — 1,02| = 0,0001\).
Ответ: \(1,02 \pm 0,0001\).
б) Представим \(0,999 = 1 — 0,001\). Тогда \(a = -0,001\).
Приближение: \(1 + 2 \cdot (-0,001) = 0,998\).
Точное значение: \(0,999^2 = 0,998001\).
Абсолютная погрешность: \(|0,998001 — 0,998| = 0,000001\).
Ответ: \(0,998 \pm 0,000001\).
Углубленный уровень. 2 вариант
Задача 1. Запишите число в стандартном виде:
а) 14 000; б) 0,023; в) 670 • 10^4; г) 81 • 10^8; д) 76 • 10^–3.
✅ Ответ: а) 1,4• 10^4; б) 2,3• 10^-2; в) 6,7 • 10^6; г) 8,1 • 10^9; д) 7,6 • 10^–2.
Задача 2. Округлите число до единиц и найдите абсолютную и относительную погрешность округления: а) 0,892; б) 23,263.
✅ Ответ: а) 1; 0,108; 10,8%; б) 23; 0,263; 1,1%.
Задача 3. Преобразуйте выражение (7,8^0•x^–10•y^–13•z^0) / (7^–3•a^6•b^–15•c^–7) так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями.
✅ Ответ: (343b¹⁵c⁷) / (a⁶x¹⁰y¹³).
Задача 4. Представьте выражение (x^8 / y^-5)^–4 • (x^-4 / y^8)^-10 в виде степени произведения.
✅ Ответ: (︀x²y¹⁵)︀4.
Задача 5. Вычислите приближённо, округлив данные числа и результат до десятых:
а) 6,78 – 5,08; б) 77,9478 – 34,38; в) 95,381 + 3,219; г) 8,9021 + 0,68.
✅ Ответ: а) 1,7; б) 43,6; в) 98,6; г) 9,6.
Задача 6. Вычислите приближённо, округлив данные числа и результат до второй значащей цифры:
а) 3,09 • 94,976; б) 6,68 : 5,81; в) 0,769 • 42,389; г) 5,8 : 22,191.
✅ Ответ: а) 290; б) 1,2; в) 32; г) 0,26.
Задача 7. Упростите выражение ((9a^–3) / (4b^-2))^-3 • (27a^–8•b^5)^2.
✅ Ответ: (64b⁴)/a⁷.
Задача 8. Для того чтобы связать шапку на обхват головы 51 см Дмитрий Сергеевич связал образец и посчитал, что плотность его вязания 17 петель в 9 см. Сколько петель ему необходимо набрать, если для плотного облегания шапка должна быть примерно на 10% уже, чем обхват головы, а для рисунка необходимо чётное количество петель?
✅ Ответ: 86.
Задача 9. Упростите выражение
✅ Ответ: –1/a4.
Задача 10. Вычислите, используя формулу (1 + a)² ≈ 1 + 2a, и оцените абсолютную погрешность получившегося приближённого значения: а) (1,001)²; б) (0,99)².
✅ Ответ: а) 1,002 ± 0,000001; б) 0,98 ± 0,0001.
Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре в 8 классе с ответами «Степень с целым показателем» (2 уровня по 2 варианта). Код материала: Вертикаль Алгебра Ященко КР-7.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.