Алгебра 8 класс. Тест 6 Вариант 1 по учебнику Макарычева с ответами и решениями. Тема теста: Квадратное уравнение и его корни. Цитаты из пособия «Алгебра. Тематические тесты. 8 класс / Ю. П. Дудницын, В. Л. Кронгауз. — М. : Просвещение» использованы в учебных целях.
Алгебра 8 класс. Тест № 6:
Квадратное уравнение и его корни
Ответы и решения на Вариант 1
№ 1. Какое из данных уравнений является квадратным?
1) \(3x — 5 = 0\);
2) \(2x^2 — 3x + 1 = 0\);
3) \(x — \frac{1}{x} = 0\);
4) \(x — 2 = 0\).
Решение: Квадратным называется уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a \neq 0\).
1) Нет квадрата (\(x^2\)).
2) Есть \(x^2\), коэффициент перед ним \(2 \neq 0\).
3) Есть дробь \(\frac{1}{x}\), это не квадратное.
4) Нет квадрата.
✅ Ответ: 2) \(2x^2 — 3x + 1 = 0\).
№ 2. Какое утверждение о дискриминанте и числе корней уравнения \(3x^2 — x + 2 = 0\) является верным?
1) \(D > 0\), два корня;
2) \(D = 0\), два корня;
3) \(D < 0\), один корень;
4) \(D < 0\), нет корней.
Решение: Вычислим дискриминант: \(a = 3\), \(b = -1\), \(c = 2\).
\(D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 — 24 = -23\).
Так как \(D < 0\), действительных корней нет.
✅ Ответ: 4) \(D < 0\), нет корней.
№ 3. Какое из данных уравнений имеет два иррациональных корня?
1) \(x^2 — 3x = 0\);
2) \(x^2 + 4 = 0\);
3) \(x^2 — 7 = 0\);
4) \(x^2 — 9 = 0\).
Решение: Иррациональные корни — это корни, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби (они содержат корень, который не извлекается нацело).
1) \(x(x — 3) = 0\), корни: \(0\) и \(3\) (рациональные).
2) \(x^2 = -4\), действительных корней нет.
3) \(x^2 = 7\), корни: \(\pm \sqrt{7}\) (иррациональные).
4) \(x^2 = 9\), корни: \(\pm 3\) (рациональные).
✅ Ответ: 3) \(x^2 — 7 = 0\).
№ 4. Решите уравнение \(3x^2 + 8x — 3 = 0\).
Варианты ответов:
1) \(3; \frac{1}{3}\);
2) \(-2; \frac{1}{3}\);
3) \(\frac{1}{3}; -3\);
4) \(-\frac{1}{3}; -1\).
Решение:
\(a = 3\), \(b = 8\), \(c = -3\).
\(D = 8^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\).
\(x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6}\).
\(x_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
\(x_2 = \frac{-8 — 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3\).
Проверка:
Подставим \(x = \frac{1}{3}\): \(3 \cdot \frac{1}{9} + 8 \cdot \frac{1}{3} — 3 = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} — 3 = 3 — 3 = 0\).
Подставим \(x = -3\): \(3 \cdot 9 + 8 \cdot (-3) — 3 = 27 — 24 — 3 = 0\). Всё верно.
✅ Ответ: 3) \(\frac{1}{3}; -3\).
№ 5. Среди данных чисел найдите корень уравнения \(x^2 — \sqrt{3} \cdot x — 6 = 0\).
Варианты: 1) –1; 2) 0; 3) \(\sqrt{3}\); 4) \(2\sqrt{3}\).
Решение: Подставим каждое число в уравнение и проверим, обращается ли оно в ноль.
1) \(x = -1\): \((-1)^2 — \sqrt{3} \cdot (-1) — 6 = 1 + \sqrt{3} — 6 = \sqrt{3} — 5 \neq 0\).
2) \(x = 0\): \(0 — 0 — 6 = -6 \neq 0\).
3) \(x = \sqrt{3}\): \((\sqrt{3})^2 — \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} — 6 = 3 — 3 — 6 = -6 \neq 0\).
4) \(x = 2\sqrt{3}\): \((2\sqrt{3})^2 — \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} — 6 = 4 \cdot 3 — 2 \cdot 3 — 6 = 12 — 6 — 6 = 0\).
✅ Ответ: 4) \(2\sqrt{3}\).
№ 6. Найдите все значения \(x\), при которых выражения \(x^2 + x\) и \(3(1 — x^2)\) принимают равные значения.
Решение. Приравняем выражения:
\(x^2 + x = 3(1 — x^2)\).
Раскроем скобки: \(x^2 + x = 3 — 3x^2\).
Перенесём всё влево: \(x^2 + x — 3 + 3x^2 = 0\).
Приведём подобные: \(4x^2 + x — 3 = 0\).
Решим квадратное уравнение: \(a = 4\), \(b = 1\), \(c = -3\).
\(D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49\).
\(x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm 7}{8}\).
\(x_1 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\).
\(x_2 = \frac{-1 — 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1\).
Проверка:
При \(x = \frac{3}{4}\): \(x^2 + x = \frac{9}{16} + \frac{3}{4} = \frac{9}{16} + \frac{12}{16} = \frac{21}{16}\). \(3(1 — x^2) = 3(1 — \frac{9}{16}) = 3 \cdot \frac{7}{16} = \frac{21}{16}\). Равны.
При \(x = -1\): \(x^2 + x = 1 — 1 = 0\). \(3(1 — 1) = 0\). Равны.
✅ Ответ: \(x = -1\) и \(x = \frac{3}{4}\).
№ 7. Произведение двух натуральных чисел на 28 больше удвоенного большего числа. Найдите эти числа, если известно, что одно из них на 10 больше другого.
Решение: Пусть меньшее число равно \(x\). Тогда большее число равно \(x + 10\) (так как одно на 10 больше другого).
Их произведение: \(x(x + 10)\).
Удвоенное большее число: \(2(x + 10)\).
По условию: \(x(x + 10) = 2(x + 10) + 28\).
Раскроем скобки: \(x^2 + 10x = 2x + 20 + 28\).
Перенесём всё влево: \(x^2 + 10x — 2x — 48 = 0\).
\(x^2 + 8x — 48 = 0\).
Решим: \(D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256\).
\(x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-8 \pm 16}{2}\).
\(x_1 = \frac{-8 + 16}{2} = \frac{8}{2} = 4\).
\(x_2 = \frac{-8 — 16}{2} = \frac{-24}{2} = -12\) (не натуральное число, отбрасываем).
Значит, меньшее число \(4\), большее \(4 + 10 = 14\).
Проверка:
Произведение: \(4 \cdot 14 = 56\).
Удвоенное большее: \(2 \cdot 14 = 28\).
Разность: \(56 — 28 = 28\). Всё сходится.
✅ Ответ: 4 и 14.
№ 8. При каком значении \(m\) один из корней уравнения \(x^2 + mx — 5 = 0\) равен 5?
Решение: Если \(x = 5\) — корень, то при подстановке уравнение обращается в верное равенство.
Подставим \(x = 5\): \(5^2 + m \cdot 5 — 5 = 0\).
\(25 + 5m — 5 = 0\).
\(20 + 5m = 0\).
\(5m = -20\).
\(m = -4\).
Проверка:
Уравнение примет вид: \(x^2 — 4x — 5 = 0\).
Найдём корни: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\).
\(x_{1,2} = \frac{4 \pm 6}{2}\).
\(x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5\) (наш корень), \(x_2 = \frac{4 — 6}{2} = -1\).
Всё верно.
✅ Ответ: \(m = -4\).
Алгебра 8 класс. Тест 6 по учебнику Макарычева с ответами. Тема теста: Квадратное уравнение и его корни. Авторы теста: Дудницын, Кронгауз. Ответы на тесты адресованы родителям.
Вернуться к Списку тематических тестов по алгебре (УМК Макарычев)