Алгебра 8 класс. Тест 8 по учебнику Макарычева с ответами. Тема теста: Числовые неравенства и их свойства. Неравенства с одной переменной. Цитаты из пособия «Алгебра. Тематические тесты. 8 класс / Ю. П. Дудницын, В. Л. Кронгауз. — М. : Просвещение» использованы в учебных целях.
Тест 8. Числовые неравенства и их свойства.
Неравенства с одной переменной
Т8 Вариант 1
№ 1. Известно, что с < d. Какое неравенство верно?
1) –5с < –5d; 2) с – 5 > d – 5;
3) с + 7 < d + 7; 4) c/3 > d/3.
Решение. Дано: c < d.
Проверим каждое неравенство, используя свойства неравенств.
► 1) Умножим обе части c < d на отрицательное число ─5. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется:
─5c > ─5d.
Значит, неравенство ─5c < ─5d неверно.
► 2) Вычтем из обеих частей c < d число 5:
c ─ 5 < d ─ 5.
Значит, неравенство c ─ 5 > d ─ 5 неверно.
► 3) Прибавим к обеим частям c < d число 7:
c + 7 < d + 7.
Это неравенство верно.
► 4) Разделим обе части c < d на положительное число 3:
c/3 < d/3.
Значит, неравенство c/3 > d/3 неверно.
✅ Ответ: 3) c + 7 < d + 7.
№ 2. Зная, что –3 < m < 2,5, оцените значение выражения 4m + 2.
1) –14 < 4m + 2 < 8; 2) 3 < 4m + 2 < 8,5;
3) –10 < 4m + 2 < 12; 4) –12 < 4m + 2 < 4,5.
Решение:
Дано: ─3 < m < 2,5.
Умножим все части неравенства на 4 (положительное число, знак не меняется):
─12 < 4m < 10.
Прибавим ко всем частям 2:
─12 + 2 < 4m + 2 < 10 + 2,
─10 < 4m + 2 < 12.
✅ Ответ: 3) ─10 < 4m + 2 < 12.
№ 3. На каком из рисунков изображено множество решений неравенства 2х – 3 < 0?
Решение. Решим неравенство:
2x ─ 3 < 0
2x < 3
x < 1,5.
✅ Ответ: 1) x < 1,5.
№ 4. Найдите все значения х, при которых функция у = 3 – 5х принимает отрицательные значения.
1) (─∞; ─3/5); 2) (─∞; 3/5);
3) (1 2/3; + ∞); 4) (3/5; + ∞).
Решение:
Функция принимает отрицательные значения, когда y < 0 :
3 ─ 5x < 0
─5x < ─3
Делим на ─5, меняем знак неравенства:
x > 3/5.
Проверка: возьмём x = 1, тогда y = 3 ─ 5 • 1 = ─2 < 0 — верно, так как 1 > 3/5.
Возьмём x = 0, тогда y = 3 > 0 — не подходит, так как 0 < 3/5.
✅ Ответ: 4) (3/5; + ∞).
№ 5. Решите неравенство 2(4 – x) > 6 – x.
1) (2; + ∞); 2) (─∞; 2/3); 3) (─∞; 2); 4) (2/3; + ∞).
Решение:
2(4 ─ x) > 6 ─ x
8 ─ 2x > 6 ─ x
8 ─ 6 > ─x + 2x
2 > x
x < 2, что соответствует интервалу (─∞; 2) — вариант 3).
✅ Ответ: 3) (─∞; 2).
Проверка. Пусть x = 1 :
2(4 ─ 1) = 6, 6 ─ 1 = 5, 6 > 5 — верно.
Пусть x = 2 :
2(4 ─ 2) = 4, 6 ─ 2 = 4, 4 > 4 — неверно (равенство, а нужно строго больше).
Пусть x = 3 :
2(4 ─ 3) = 2, 6 ─ 3 = 3, 2 > 3 — неверно.
№ 6. Решите неравенство (x─2)/3 ─ (1 + 2x)/5 ≤ 1.
Решение. Приведём к общему знаменателю 15:
(5(x─2) ─ 3(1 + 2x))/15 ≤ 1
(5x ─ 10 ─ 3 ─ 6x)/15 ≤ 1
(─x ─ 13)/15 ≤ 1
Умножим обе части на 15 (15 > 0, знак неравенства не меняется):
─x ─ 13 ≤ 15
─x ≤ 28
x ≥ ─28
✅ Ответ: x ≥ ─28, или [─28; +∞).
Проверка. Пусть x = ─28 :
(─30)/3 ─ (1 ─ 56)/5 = ─10 ─ (─55)/5 = ─10 + 11 = 1, 1 ≤ 1 — верно.
Пусть x = 0 :
─ 2/3 ─ 1/5 = ─ 10/15 ─ 3/15 = ─ 13/15, это ≤ 1 — верно.
№ 7. Докажите, что при любом значении a разность выражений (a – 2)² и 3 – 4a принимает положительные значения.
Решение. Найдём разность:
(a ─ 2)² ─ (3 ─ 4a)
a² ─ 4a + 4 ─ 3 + 4a
a² + 1
Так как a² ≥ 0 при любом a, то a² + 1 ≥ 1 > 0.
Значит, разность всегда положительна.
✅ Ответ: доказано.
№ 8. Найдите область определения выражения (√{5 ─ 2x})/(x + 1).
Решение:
► 1) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
5 ─ 2x ≥ 0
─2x ≥ ─5
x ≤ 2,5
► 2) Знаменатель не равен нулю:
x + 1 ≠ 0
x ≠ ─1
Объединяем условия: x ≤ 2,5 и x ≠ ─1.
✅ Ответ: (─∞; ─1) ∪ (─1; 2,5].
Т8 Вариант 2
Т8 Вариант 3
Т8 Вариант 4
Ответы на все варианты
Алгебра 8 класс. Тест 8 по учебнику Макарычева с ответами. Тема теста: Числовые неравенства и их свойства. Неравенства с одной переменной. Авторы теста: Дудницын, Кронгауз. Ответы на тесты адресованы родителям.
Вернуться к Списку тематических тестов по алгебре (УМК Макарычев)