Алгебра 8 класс. Тест 9 Вариант 1 по учебнику Макарычева с ответами и решениями. Тема теста: Системы неравенств с одной переменной. Цитаты из пособия «Алгебра. Тематические тесты. 8 класс / Ю. П. Дудницын, В. Л. Кронгауз. — М. : Просвещение» использованы в учебных целях.
Алгебра 8 класс. Тест № 9:
Системы неравенств с одной переменной
Ответы и решения на Вариант 1
№ 1. Задание: Какое число является решением системы неравенств
{ 3х – 2 > 0,
{ 4 – х < 0?
Варианты: 1) –1; 2) 1; 3) 3; 4) 5.
Решение: Решим каждое неравенство отдельно.
1) \(3x — 2 > 0 \Rightarrow 3x > 2 \Rightarrow x > \frac{2}{3}\).
2) \(4 — x < 0 \Rightarrow -x < -4 \Rightarrow x > 4\).
Пересечение решений: \(x > 4\).
Из предложенных вариантов подходит только число 5.
✅ Ответ: 4) 5.
№ 2. Задание: На каком из рисунков изображено множество решений системы неравенств
{ х – 3 < 0,
{ 2х > –5 ?
Варианты: 1) x >3; 2) –2,5 < x < 3; 3) x < –2,5; 4) x < 3.
Решим систему:
1) \(x — 3 < 0 \Rightarrow x < 3\).
2) \(2x > -5 \Rightarrow x > -2,5\).
Общее решение: \(-2,5 < x < 3\).
Это соответствует варианту 2.
✅ Ответ: 2) –2,5 < x < 3.
№ 3. Задание: Решите систему неравенств
{ 4х < 3х + 2,
{ 5 – x < 4 – 2x.
Варианты: 1) (–∞; –1); 2) (–1; +∞); 3) (–1; 2); 4) (–∞; 2).
Решение:
1) \(4x < 3x + 2 \Rightarrow 4x — 3x < 2 \Rightarrow x < 2\).
2) \(5 — x < 4 — 2x \Rightarrow -x + 2x < 4 — 5 \Rightarrow x < -1\).
Пересечение: \(x < -1\).
Это промежуток \((–∞; –1)\).
✅ Ответ: 1) (–∞; –1).
№ 4. Задание: Оцените периметр прямоугольника со сторонами а и b, если \(6,5 < а < 7,2\) и \(11,6 < b < 12,9\). Варианты:
1) \(18,1 < 2а + 2b < 20,1\)
2) \(27,4 < 2а + 2b < 50\)
3) \(13,7 < 2а + 2b < 24,5\)
4) \(36,2 < 2а + 2b < 40,2\).
Решение: Периметр \(P = 2a + 2b\). Оценим каждую часть:
\(2 \cdot 6,5 < 2a < 2 \cdot 7,2 \Rightarrow 13 < 2a < 14,4\).
\(2 \cdot 11,6 < 2b < 2 \cdot 12,9 \Rightarrow 23,2 < 2b < 25,8\).
Сложим неравенства:
\(13 + 23,2 < 2a + 2b < 14,4 + 25,8\).
\(36,2 < P < 40,2\).
✅ Ответ: 4) \(36,2 < 2а + 2b < 40,2\).
№ 5. Задание: Решите двойное неравенство –7 ≤ 4х – 3 ≤ 1.
Варианты:
1) (–1; 1); 2) [–2,5; 1]; 3) [–1; 1]; 4) (–2,5; 1).
Решение: Прибавим 3 ко всем частям:
\(-7 + 3 \leq 4x \leq 1 + 3 \Rightarrow -4 \leq 4x \leq 4\).
Разделим на 4:
\(-1 \leq x \leq 1\).
В квадратных скобках, так как неравенства нестрогие.
✅ Ответ: 3) [–1; 1].
№ 6. Задание: Найдите наибольшее натуральное число, которое принадлежит множеству решений системы неравенств
{ \(1 — \frac{x}{6} > 0\),
{ \(\frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7\).
Решение: Решим первое неравенство:
\(1 — \frac{x}{6} > 0 \Rightarrow \frac{x}{6} < 1 \Rightarrow x < 6\).
Решим второе неравенство:
\(\frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7 \Rightarrow \frac{4x + 3x}{12} < 7 \Rightarrow \frac{7x}{12} < 7 \Rightarrow 7x < 84 \Rightarrow x < 12\).
Пересечение решений: \(x < 6\).
Натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5.
Наибольшее из них — 5.
Проверка. При \(x = 5\):
\(1 — 5/6 = 1/6 > 0\) (верно).
\(5/3 + 5/4 = 20/12 + 15/12 = 35/12 \approx 2,92 < 7\) (верно).
✅ Ответ: 5.
№ 7. Задание: Сколько существует целых значений переменной m, при которых имеет смысл выражение
\(\sqrt{9 — 2m} + \sqrt{5m + 3}\)?
Решение:
Выражение имеет смысл, если подкоренные выражения неотрицательны:
1) \(9 — 2m \geq 0 \Rightarrow -2m \geq -9 \Rightarrow m \leq 4,5\).
2) \(5m + 3 \geq 0 \Rightarrow 5m \geq -3 \Rightarrow m \geq -0,6\).
Область определения: \(-0,6 \leq m \leq 4,5\).
Целые числа из этого промежутка: 0, 1, 2, 3, 4.
Всего 5 чисел.
Проверка:
При \(m = 0\): \(\sqrt{9} + \sqrt{3}\) (смысл есть).
При \(m = 4\): \(\sqrt{9-8} + \sqrt{20+3} = 1 + \sqrt{23}\) (смысл есть).
При \(m = -1\): \(\sqrt{11} + \sqrt{-2}\) (нет смысла).
✅ Ответ: 5.
№ 8. Задание: Найдите множество значений х, при которых точки графиков обеих функций \(y = 4x — 5\) и \(y = \frac{1}{2}x + 3\) расположены на координатной плоскости ниже оси абсцисс.
Решение: «Ниже оси абсцисс» означает, что \(y < 0\).
Решим систему неравенств:
1) \(4x — 5 < 0 \Rightarrow 4x < 5 \Rightarrow x < 1,25\).
2) \(\frac{1}{2}x + 3 < 0 \Rightarrow \frac{1}{2}x < -3 \Rightarrow x < -6\).
Пересечение: \(x < -6\).
✅ Ответ: \((-∞; -6)\).
Алгебра 8 класс. Тест 9 по учебнику Макарычева с ответами. Тема теста: Системы неравенств с одной переменной. Авторы теста: Дудницын, Кронгауз. Ответы на тесты адресованы родителям.
Вернуться к Списку тематических тестов по алгебре (УМК Макарычев)