Пусть А — множество решений уравнения х + у = 5, а В — множество решений уравнения х – у = 3. Тогда множество С решений системы уравнений х + у = 5, х – у = 3
состоит из всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В. В этом случае говорят, что множество С является пересечением множеств А и В.
■ Определение. Пересечением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В.
Пересечение множеств А и В обозначают так: А ∩ В. Из определения следует, что A ∩ B = {x | x ∈ А и х ∈ В}.
Легко убедиться, что решением рассмотренной выше системы является пара (4; 1). Этот факт можно записать так:
Если множества А и B не имеют общих элементов, то их пересечением является пустое множество, т. е. А ∩ В = 0. Также заметим, что А ∩ ∅ = ∅.
Пересечение множеств удобно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера–Венна. На рисунке 2.1 заштрихованная фигура изображает множество А ∩ В.
Для того чтобы решить уравнение (х2 – х)(х2 – 1) = 0, надо решить каждое из уравнений х2 – х = 0 и х2 – 1 = 0.
Имеем: А = {0, 1} — множество корней первого уравнения, В = {–1, 1} — множество корней второго уравнения. Множество С = {–1, 0, 1}, каждый элемент которого принадлежит или множеству А, или множеству В, является множеством корней исходного уравнения. Множество С называют объединением множеств А и В.
■ Определение. Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: или множеству А, или множеству В.
Объединение множеств А и В обозначают так: A U В. Из определения следует, что A ∪ В = {х | x ∈ А или х ∈ В).
Если требуется найти объединение множеств решений уравнений, то говорят, что требуется решить совокупность уравнений.
Совокупность записывают с помощью квадратной скобки. Так, чтобы решить уравнение (х2 – х)(х2 – 1) = 0, нужно решить совокупность уравнений х2 – х = 0, х2 –1 = 0.
…
