4. Равномощные множества — Алгебра (угл.)

В предыдущем параграфе мы рассмотрели конечные множества, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие, и выяснили, что такие множества имеют одинаковое количество элементов.

Руководствуясь принципом «часть меньше целого», приходим к выводу, что если В — собственное подмножество конечного множества А, то n(В) < n(A). Следовательно, между конечным множеством и его собственным подмножеством невозможно установить взаимно однозначное соответствие.

Пусть М — множество чётных чисел. Множество М является собственным подмножеством множества N. Казалось бы, можно считать, что натуральных чисел больше, чем чётных. Однако это не так.

Каждому элементу n ∈ N поставим в соответствие единственный элемент 2n ∈ М:

 

При этом каждое чётное число будет соответствовать единственному натуральному числу. Тем самым между множествами N к М установлено взаимно однозначное соответствие, а поэтому нельзя считать, что в множестве N содержится больше элементов, чем в его собственном подмножестве — множестве чётных чисел.

Этот пример показывает, что представления о конечных множествах нельзя переносить на бесконечные множества.

Имеет место следующий факт: в любом бесконечном множестве А можно выделить собственное подмножество A₁ таким образом, что между множествами А и А₁ можно установить взаимно однозначное соответствие. Это принципиальное отличие бесконечных множеств от конечных.

Если множества A и В конечны и между ними установлено взаимно однозначное соответствие, то n(A) = n(В). Если же взаимно однозначное соответствие установлено между бесконечными множествами A и В, то в математике не принято говорить, что эти множества имеют одинаковое количество элементов. Говорят, что множества A и В имеют одинаковую мощность. Другими словами, для бесконечных множеств слово «мощность» означает то же самое, что для конечных множеств «количество элементов».

■ Определение. Два множества называют равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Порой, выявляя свойства объектов, мы руководствуемся интуицией или жизненным опытом. Однако, когда мы определяем свойства бесконечных множеств, опыт и интуиция могут подвести.

Например, имеет место следующий удивительный факт: множество точек прямой равномощно множеству точек открытого отрезка (отрезка, у которого «выколоты» концы), т. е. прямая содержит столько же точек, сколько их содержит открытый отрезок.

На рисунке 4.1 изображена прямая MN, которая касается полуокружности с центром в точке О и диаметром А В, параллельным прямой MN. Удалим из полуокружности точки А и. В. Такую полуокружность называют открытой.

Каждой точке X открытой полуокружности поставим в соответствие точку Х₁ прямой MN, лежащую на луче ОХ. Понятно, что точке X соответствует единственная точка прямой MN, и наоборот, каждая точка прямой MN является соответствующей единственной точке открытой полуокружности. Следовательно, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством точек прямой и множеством точек открытой полуокружности.

На рисунке 4.2 показано, как установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек открытого отрезка и множеством точек открытой полуокружности. Следовательно, множество точек открытого отрезка АВ равномощно множеству точек прямой MN.

В рассказе на с. 38 вы узнаете ещё об одном факте, в который тоже трудно поверить, полагаясь лишь на интуицию: множество точек стороны квадрата равномощно множеству точек квадрата.

■ Определение. Множество, равномощное множеству натуральных чисел, называют счётным множеством.

Выше мы показали, что множество чётных чисел счётно.

Натуральное число n, соответствующее элементу а счётного множества А, называют номером этого элемента. Если элемент а имеет номер n, то пишут: а_n. Когда устанавливают взаимно однозначное соответствие между множествами А и N, каждый элемент множества А получает свой номер, и эти элементы можно расположить последовательно (или расположить в виде последовательности):

 a₁, a₂, а₃, …, a_n, …

Так, если элементы множества Р простых чисел расположить в порядке возрастания 2, 3, 5, 7, 11, … то все элементы этого множества можно пронумеровать:

 

Тем самым мы установили взаимно однозначное соответствие между множествами Р и N.

Таким способом можно показать, что любое бесконечное подмножество множества N является счётным (сделайте это самостоятельно).

…