5. Элементы математической логики — Алгебра (угл.)

В физике, химии, биологии, экономике, социологии, и других науках об истинности утверждений можно судить, основываясь на результатах наблюдений и экспериментов. В этом отношении математика — наука иного рода. Например, то, что сумма углов треугольника равна 180°, невозможно определить лабораторным путём. Истинность математических утверждений может быть доказана только в результате логически безупречных рассуждений.

Науку, которая изучает такие математические доказательства (логически безупречные рассуждения), называют математической логикой. Следовательно, математическая логика учит, как надо рассуждать, чтобы получать верные выводы.

Рассуждая, мы формулируем свои мысли в виде утверждений.

Рассмотрим примеры.

1. Если треугольник равносторонний, то центры его вписанной и описанной окружностей совпадают.
2. Поэзия Марины Цветаевой сложна для восприятия.
3. Число 0,5 является целым.
4. Юрий Гагарин — первый человек, совершивший полёт в космос.
5. Число n является простым.

Утверждения 1 и 4 являются истинными, утверждение 3 — ложным. Утверждения 2 и 5 нельзя отнести ни к истинным, ни к ложным.

Любое утверждение, относительно которого имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно, называют высказыванием.

Следовательно, утверждения 1, 3, 4 являются высказываниями, а утверждения 2 и 5 высказываниями не являются.

Высказывания обозначают прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д.

Например, пишут:

А = {Москва — столица России};

В = {5 > 7};

С = {число 2 — простое}.

Любое высказывание является или истинным, или ложным. Если высказывание А истинно, то будем говорить, что ему поставлено в соответствие число 1, если высказывание А ложно — то число 0.

С помощью логических связок, а именно слов «и», «или», «если …, то», «тогда и только тогда» и т. п., из имеющихся высказываний можно строить более сложные высказывания.

Например, если даны два высказывания:

A = {5 > 3}, 5 = {5 = 3}, то высказывание С = {5 > 3} образовано из высказываний А и В с помощью союза «или».

Примерами сложных высказываний могут также служить теоремы. Со структурами и видами теорем вы можете ознакомиться в курсе геометрии 8 класса.

Рассмотрим высказывание С = {10 : 5 и 10 : 2}. Оно составлено из двух высказываний: А = {10 : 5} и В = {10 : 2} с помощью союза «и». Высказывание С называют конъюнкцией высказываний А и В.

■ Определение. Конъюнкцией (или логическим произведением) двух высказываний А и В называют высказывание, которое истинно, если каждое из высказываний A и В истинно, и ложно, если хотя бы одно из них ложно.

Конъюнкцию высказываний А и В обозначают так: А ∧ В (читают: «А и В» или «А конъюнкция В»),

Возвращаясь к рассмотренному выше примеру, можно сказать, что высказывание С является высказыванием А ∧ В.

Также говорят, что высказывание С получено из высказываний А и В в результате логической операции конъюнкции.

Понятно, что истинность или ложность высказывания А а В зависит от истинности или ложности высказываний А л В. Эту зависимость удобно представить в виде таблицы, которую называют таблицей истинности. Так, таблица истинности для логической операции конъюнкции имеет такой вид:

Конъюнкция соответствует логической связке «и». Определим ряд других логических операций, которые соответствуют чаще всего употребляемым способам образования высказываний в обычном языке.

■ Определение. Дизъюнкцией (или логической суммой) двух высказываний А и В называют высказывание, которое истинно, если хотя бы одно из высказываний А или В истинно, и ложно, если они оба ложны.

Дизъюнкцию высказываний А и В обозначают так: A v В (читают: «А или В» или «А дизъюнкция В»).

Пусть А = {в понедельник первым уроком в расписании является физика}, В = {в понедельник первым уроком в расписании является математика}.

Тогда A v В = {в понедельник первым уроком в расписании является физика или математика}.

Приведём таблицу истинности для дизъюнкции:

Многие теоремы имеют такую логическую структуру: если выполняются некоторые условия, то можно сделать некоторый вывод.

Логическую связку «если…, то» употребляют и в других науках, а также в повседневной жизни. Определим соответствующую логическую операцию.

■ Определение. Импликацией (или логическим следованием) двух высказываний А и В называют такое высказывание А ⇒ В (читают: «если А, то В»), которое ложно при условии, что высказывание А истинно, а высказывание В ложно, а во всех остальных случаях оно истинно.

В импликации А ⇒ В высказывание А называют условием, а высказывание В — выводом.

Приведём таблицу истинности для импликации:

Заметим, что первые две строки этой таблицы полностью соответствуют нашему бытовому пониманию слова «следует»: если из истины следует истина, то это правильно (первая строка таблицы); если из истины следует ложь, то это неправильно (вторая строка таблицы).

Третья и четвёртая строки показывают, что импликация не полностью соответствует логике, которой мы придерживаемся в бытовом разговорном языке. Вряд ли в повседневной жизни мы руководствуемся таким правилом: «если из лжи следует правда, или из лжи следует ложь, то такие высказывания истинны».

Например, в силу определения импликации каждое из высказываний

{если 2 • 2 = 5, то Волга впадает в Каспийское море}

и

{если 2 • 2 = 5, то Волга впадает в Белое море}

истинно.

Вместе с тем понять целесообразность принятого определения импликации помогает такой пример.

Пусть х — целое число. Утверждение «Если х : 10, то х : 5» безусловно истинно во всех случаях.

Если подставить х= 1, то получим истинное высказывание:

«Если 1 • 10, то 1:5», иллюстрирующее четвёртую строку таблицы.

Если подставить х= 5, то получим истинное высказывание:

«Если 5 : 10, то 5:5», иллюстрирующее третью строку таблицы.

…