Геометрия Смирнова Глава 1

Геометрия Смирнова Глава 1 «ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ». Учебник по геометрии читать онлайн. Цитаты из пособия 2024 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника

ГЛАВА I. ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ

§ 1. Параллелограмм.


§ 2. Признаки параллелограмма.


§ 3. Прямоугольник, ромб, квадрат.


§ 4. Средняя линия треугольника.


§ 5. Трапеция.


§ 6. Теорема Фалеса.

 

OCR-версия данного раздела
 Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (рис. 1.1).
Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, опущенный из точки одного основания этого параллелограмма на другое основание или его продолжение. На рисунке 1.1 показана высота DE параллелограмма ABCD.
Рассмотрим свойства параллелограмма.
Свойство 1. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Доказательство. Углы, прилежащие к стороне параллелограмма, являются внутренними односторонними углами. Поэтому их сумма равна 180°.
Свойство 2. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм (см. рис. 1.2 на с. 5). Диагональ АС разбивает его на два треугольника АВС и CDA, которые равны по второму признаку равенства треугольников (АС — общая сторона, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как внутренние накрест лежащие углы). Поэтому АВ = CD, BC = AD и ∠B = ∠D. Кроме этого, ∠A = ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = ∠C.
Свойство 3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Пусть О — точка пересечения диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD (рис. 1.3). Треугольники AOD и COB равны по второму признаку равенства треугольников (AD = BC по свойству 2, Z 1 = Z 2 и Z 3 = Z 4 как внутренние накрест лежащие углы). Поэтому АО = ОС и BO = OD.

ПРИМЕР 1. Сумма двух углов параллелограмма равна 148°. Найдите его углы.
Решение. Так как сумма соседних углов параллелограмма равна 180°, то данные углы не могут быть соседними и, следовательно, являются противоположными. Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, то в данном случае каждый из них равен 74°. Оставшиеся два угла параллелограмма равны 106°.

ПРИМЕР 2. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Назовите пары равных треугольников.
Ответ. AOB и COD; AOD и COB; ABC и CDA; ABD и CDB.

Вопросы

  1. Какой четырёхугольник называется параллелограммом?
  2. Чему равна сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне?
  3. Что можно сказать о противоположных: а) сторонах; б) углах параллелограмма?
  4. Что можно сказать о диагоналях параллелограмма?

Задачи

  1. Три параллельные прямые пересечены тремя параллельными прямыми. Сколько при этом получилось параллелограммов?
  2. Сколько различных параллелограммов можно получить из двух равных треугольников, прикладывая их друг к другу различным образом?
  3. У параллелограмма две стороны равны 10 см и 15 см. Чему равны две другие стороны?
  4. Один из углов параллелограмма равен 30°. Чему равны остальные углы?
  5. На рисунке 1.4 ABCD — параллелограмм, BE || DF. Какой фигурой является четырёхугольник BFDE?
  6. Могут ли углы треугольника быть равными трём углам какого-нибудь параллелограмма?
  7. Найдите углы параллелограмма, если сумма двух из них равна: а) 80°; б) 100°; в) 160°.
  8. Найдите углы параллелограмма, если один из его углов: а) больше другого на 40°; б) меньше другого в 5 раз.
  9. Найдите углы параллелограмма, если два его угла относятся как 3 : 7.
  10. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25° и 35°. Найдите углы параллелограмма.
  11. В параллелограмме ABCD (рис. 1.5) BE и BF перпендикулярны сторонам AD и CD соответственно. Его острый угол равен 60°. Найдите углы образовавшегося четырёхугольника BFDE.
  12. Как расположены биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне?
  13. Как расположены биссектрисы углов параллелограмма (с неравными смежными сторонами), противолежащих друг другу?
  14. Из двух противоположных вершин параллелограмма ABCD (рис. 1.6) проведены биссектрисы BE и DF. Будет ли четырёхугольник BFDE параллелограммом?
  15. Существует ли параллелограмм, в котором две стороны и одна диагональ соответственно равны: а) 5 см, 2 см, 2 см; б) 7 см, 4 см, 11 см; в) 2 см, 3 см, 4 см; г) 3 см, 8 см, 10 см?
  16. Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а) одна сторона на 2 см больше другой; б) разность двух сторон равна 7 см; в) одна из сторон в два раза больше другой.
  17. Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а периметр его равен 2,8 м. Найдите стороны параллелограмма.
  18. Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 см и 4 см. Найдите расстояния от неё до двух других вершин.
  19. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.
  20. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что её отрезок, заключённый между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
  21. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противолежащую сторону в отношении 3 : 4, считая от вершины тупого угла (рис. 1.7). Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
  22. На клетчатой бумаге изобразите параллелограмм, у которого даны три вершины (рис. 1.8). Сколько таких параллелограммов?
  23. На клетчатой бумаге изобразите параллелограмм ABCD, у которого даны вершины A, B и точка O пересечения его диагоналей (рис. 1.9).
  24. На клетчатой бумаге изобразите параллелограмм ABCD, у которого даны середины E, F, G сторон соответственно AB, BC, CD (рис. 1.10).
  25. * Через точку, данную внутри угла, проведите отрезок с концами на сторонах угла, делящийся в этой точке пополам.

 


Вы смотрели: Геометрия Смирнова Глава 1 «ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ». Учебник по геометрии читать онлайн. Цитаты из пособия 2024 года использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения, а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника

 

Добавить комментарий

На сайте используется ручная модерация. Срок проверки комментариев: от 1 часа до 3 дней