Геометрия Вертикаль СР-7 уровень А

Админ

Математическая вертикаль Геометрия (Волчкевич М.А./ под редакцией Ященко И.В.) Самостоятельная работа по геометрии в 8 классе с ответами «СР-7 Вписанные углы» Уровень А, 2 варианта. Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета).
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.

Геометрия 8 класс (Волчкевич)
Самостоятельная № 7. Уровень А

Проверяемая тема учебника: §14 (13) Вписанные углы (Углы, вписанные в окружность. Свойства и признаки вписанных четырехугольников. ГМТ точек, из которых данный отрезок виден под постоянным углом. Угол между касательной и хордой окружности).
Время выполнения любого варианта: 40 минут.

СОДЕРЖАНИЕ страницы
СР-7 Базовый уровень (А). Вариант 1
СР-7 Базовый уровень (А). Вариант 1

СР-7 Базовый уровень (А). Вариант 1

№ 1. Укажите все верные утверждения.
а) Любой параллелограмм можно вписать в окружность.
б) Угол между касательной и хордой окружности, проведёнными в одной её точке, равен любому вписанному в неё углу, который опирается на дугу, заключённую между этими касательной и хордой.
в) Одна из сторон прямоугольного треугольника является радиусом его описанной окружности.
г) В треугольнике АВС проведены высоты AD и СЕ. Тогда точки А, Е, D и С лежат на одной окружности.
ОТВЕТ: б), г).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
► а) Любой параллелограмм можно вписать в окружность.
Утверждение: Неверно.
Обоснование: Параллелограмм можно вписать в окружность только в том случае, если он является прямоугольником . У прямоугольника противоположные углы равны 90°, и вокруг него можно описать окружность. Однако у произвольного параллелограмма противоположные углы равны, но их сумма не обязательно равна 180° (что необходимо для вписанного четырёхугольника). Например, у ромба (частного случая параллелограмма) нельзя описать окружность, если он не является квадратом.
► б) Угол между касательной и хордой окружности, проведёнными в одной её точке, равен любому вписанному в неё углу, который опирается на дугу, заключённую между этими касательной и хордой.
Утверждение: Верно.
Обоснование: Это известное свойство в геометрии, называемое «угол между касательной и хордой». Оно гласит, что угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, стягиваемую этой хордой.
Формулировка:  Если AB — хорда окружности, l — касательная, проходящая через точку A, то угол между l и AB равен любому вписанному углу ACB, опирающемуся на дугу AB.
► в) Одна из сторон прямоугольного треугольника является радиусом его описанной окружности.
Утверждение: Неверно.
Обоснование: В прямоугольном треугольнике описанная окружность имеет диаметр, равный гипотенузе (следует из теоремы Фалеса). Таким образом, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Ни одна из сторон треугольника не может быть равна радиусу, так как:
– Катеты меньше гипотенузы (по свойству прямоугольного треугольника).
-–Гипотенуза равна двум радиусам, а не одному.
► г) В треугольнике АВС проведены высоты AD и СЕ. Тогда точки А, Е, D и С лежат на одной окружности.
Утверждение: Верно.
Обоснование: Рассмотрим четырёхугольник AEDC:
– Углы AEC и ADC — прямые (так как CE и AD — высоты).
– Если два противоположных угла четырёхугольника являются прямыми, то вокруг него можно описать окружность (по теореме о вписанном четырёхугольнике).
Таким образом, точки A,E,D,C лежат на одной окружности (на диаметре AC).
■ Итоговый ответ:
Верными являются утверждения: б) и г). 

№ 2. Четырёхугольник АВCD вписан в окружность. Угол АВС равен 113°, а угол CAD равен 54°. Найдите угол ABD.
ОТВЕТ: 59°.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Через концы А, В дуги окружности, градусная мера которой равна 61°, проведены касательные АС и ВС. Найдите угол АСВ.

ОТВЕТ: 119°.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Дан четырёхугольник ABCD, в котором ∠BAC = 30°, ∠BCA = 40°, ∠CAD = 50°, ∠ACD = 60°. Найдите угол ABD и угол между диагоналями четырёхугольника.
ОТВЕТ: 60°, 90°.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Окружность, проходящая через вершины B и C меньшего основания трапеции ABCD, пересекает его диагонали в точках P и Q (см. рисунок). Докажите, что точки A, P, Q и D лежат на одной окружности.

Указание: докажите, что ∠BQP = ∠PAD.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

 

СР-7 Базовый уровень (А). Вариант 1

№ 1. Укажите все верные утверждения.
а) Любую трапецию можно вписать в окружность.
б) Угол между касательной и хордой проведёнными в одной её точке, равен центральному углу, который опирается на дугу, заключённую между этими касательной и хордой.
в) Одна из сторон прямоугольного треугольника является диаметром его описанной окружности.
г) Высоты AD и СЕ треугольника АВС пересекаются в точке Н. Тогда точки В, Е, Н и D лежат на одной окружности.
ОТВЕТ: в), г).

№ 2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 66°, а угол ВСА равен 31°. Найдите угол BCD.
ОТВЕТ: 97°.

№ 3. Через концы А, В дуги окружности, градусная мера которой равна 79°, проведены касательные АС и ВС. Найдите угол АСВ.

ОТВЕТ: 101°.

№ 4. Дан четырёхугольник ABCD, в котором ∠BAC = 60°, ∠BCA = 30°, ∠CAD = 50°, ∠ACD = 40°. Найдите угол ADB и угол между диагоналями четырёхугольника.
ОТВЕТ: 30°, 70°.

№ 5. Окружность, проходящая через вершины A и D большего основания трапеции ABCD, пересекает его диагонали в точках P и Q (см. рисунок). Докажите, что точки B, C, P и Q лежат на одной окружности.

Указание: докажите, что ∠BCP = ∠BQP.

 

Смотрите также:
Самостоятельная №7. Углубленный уровень (Б) 2 варианта

Вы смотрели: Математическая вертикаль Геометрия (Волчкевич М.А./ под редакцией Ященко И.В.) Самостоятельная работа по геометрии в 8 классе с ответами «СР-7 Вписанные углы» (2 уровня по 2 варианта). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета).

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.

Добавить комментарий

На сайте используется ручная модерация. Срок проверки комментариев: от 1 часа до 3 дней