СР-1 Параллелограмм

Математическая вертикаль Геометрия (Волчкевич М.А./ под редакцией Ященко И.В.) Самостоятельная работа по геометрии в 8 классе с ответами «СР-1 Параллелограмм» (2 уровня по 2 варианта). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета).
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.

Геометрия 8 класс (Волчкевич)
Самостоятельная работа № 1

Проверяемая тема учебника: §1 Параллелограмм, §2 Дополнительные построения.

СР-1. Базовый уровень (А) Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

40 мин, ★☆☆

№ 1. Укажите верные утверждения:
а) Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.
б) Диагональ параллелограмма делит его углы пополам.
в) Если все стороны четырёхугольника равны, то он параллелограмм.
г) Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
ОТВЕТ: в, г.

№ 2. Разность двух углов параллелограмма равна 76°. Найдите его углы.
ОТВЕТ: 52°, 52°, 128°, 128°.

№ 3. Биссектриса угла параллелограмма делит большую его сторону на отрезки в 3 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.
ОТВЕТ: 22 см или 20 см.

№ 4. На стороне ВС параллелограмма АВСD взяли точку F. Оказалось, что угол ВАF равен 32°, а угол АFD равен 50°. Найдите угол СDF.
ОТВЕТ: 18°.

№ 5. На рисунке изображён параллелограмм ABCD. Точки M и N — середины отрезков BO и DO. Докажите, что AMCN — параллелограмм.

ОТВЕТ: см. в спойлере.

.

СР-1. Базовый уровень (А) Вариант 2

№ 1. Укажите верные утверждения:
а) Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 130°.
б) Диагонали параллелограмма равны.
в) Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
г) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
ОТВЕТ: а, г.

№ 2. Сумма двух углов параллелограмма равна 144°. Найдите его углы.
ОТВЕТ: 72°, 72°, 108°, 108°.

№ 3. Периметр параллелограмма равен 40 см, а одна из сторон 5 см. Найдите длины отрезков, на которые биссектриса угла параллелограмма делит большую его сторону.
ОТВЕТ: 5 см и 10 см или 5 см и 7,5 см.

№ 4. На стороне ВС параллелограмма АВСD взяли точку F. Оказалось, что угол ВАF равен 22°, а угол АFD равен 48°. Найдите угол СDF.
ОТВЕТ: 26°.

№ 5. На рисунке изображён параллелограмм AMCN. Точки M и N — середины отрезков BO и DO. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

ОТВЕТ: см. в спойлере.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Краткое доказательство:
1) В параллелограмме AMCN диагонали AC и MN пересекаются в точке O, причём O — середина AC и O — середина MN.
2) M — середина BO ⇒ BO = 2MO, N — середина DO ⇒ DO = 2NO.
3) Но O — середина MN ⇒ MO = ON.
4) Тогда BM = MO = ON = ND.
5) Значит, O — середина BD (так как BO = 2MO, DO = 2NO и MO = NO).
6) В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD делятся пополам в точке O ⇒ ABCD — параллелограмм. /su_spoiler]

 

.

СР-1. Углубленный уровень (Б) Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

40 минут, ★★☆

№ 1. Укажите верные утверждения:
а) Четырёхугольник является параллелограммом, если каждая диагональ делит его на два равных треугольника.
б) Существует параллелограмм, все углы которого различны.
в) Если у параллелограмма равны диагонали, то все его углы тоже равны.
г) Если в четырёхугольнике две стороны равны, а две другие тоже равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
ОТВЕТ: а, в.

№ 2. Докажите, что противоположные стороны параллелограмма равны.
Дано: параллелограмм ABCD (где AB || CD и AD || BC).
Доказать: AB = CD и AD = BC.
Доказательство:
1) Проведём диагональ AC.
2) Рассмотрим треугольники ABC и CDA :
- AC — общая сторона,
- ∠BAC = ∠DCA (накрест лежащие при AB || CD и секущей AC),
- ∠BCA = ∠DAC (накрест лежащие при AD || BC и секущей AC).
3) Значит, △ABC = △CDA по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
4) Из равенства треугольников следует:
- AB = CD,
- AD = BC.
Вывод: противоположные стороны параллелограмма равны.

№ 3. Меньшая сторона параллелограмма равна № 4. Известно, что биссектрисы двух его углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три равные части. Чему может быть равна большая сторона?
ОТВЕТ: 6 или 12.

№ 4. Точка М — середина стороны АD параллелограмма АВСD. На стороне СD взяли точку K так, что угол MKD равен углу ABK. Отрезок KH — высота параллелограмма. Найдите АН, если DK = 1, CK = 7.

ОТВЕТ: 3.

№ 5. Две диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, делят друг друга пополам, а все его противоположные стороны попарно параллельны. Докажите, что через точку пересечения данных диагоналей проходит третья диагональ данного шестиугольника.

ОТВЕТ: см. в спойлере.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

.

СР-1. Углубленный уровень (Б) Вариант 2

№ 1. Укажите верные утверждения:
а) Существует параллелограмм, все стороны которого различны.
б) Если углы четырёхугольника при обходе по часовой стрелке относятся как 1:3:1:3, то такой четырёхугольник — параллелограмм.
в) Если две высоты, проведённые из одной вершины параллелограмма к противоположным сторонам, равны между собой, то всего его стороны равны.
г) Если в четырёхугольнике две стороны равны, а две другие параллельны друг другу, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
ОТВЕТ: б, в.

№ 2. Докажите, что диагонали параллелограмма делятся пополам точкой пересечения.
Дано: параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O.
Доказать: AO = OC и BO = OD.
Доказательство:
1) Рассмотрим треугольники AOB и COD :
- AB = CD (противоположные стороны параллелограмма),
- ∠OAB = ∠OCD (накрест лежащие при AB || CD и секущей AC),
- ∠OBA = ∠ODC (накрест лежащие при AB || CD и секущей BD).
2) Значит, △AOB = △COD по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
3) Из равенства треугольников следует:
- AO = OC,
- BO = OD.
Вывод: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

№ 3. Длинная сторона параллелограмма равна 15. Известно, что биссектрисы двух его углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три равные части. Чему может быть равна меньшая сторона?
ОТВЕТ: 5 или 10.

№ 4. Точка М – середина стороны СD параллелограмма АВСD. На стороне ВС взяли точку K так, что угол MKC равен углу AKB. Отрезок KH – высота параллелограмма. Найдите АН, если BK = 6, CK = 5.

ОТВЕТ: 8.

№ 5. В шестиугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, а другие пары противоположных сторон параллельны. Докажите, что три его диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.

ОТВЕТ: см. в спойлере.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Математическая вертикаль Геометрия (Волчкевич М.А./ под редакцией Ященко И.В.) Самостоятельная работа по геометрии в 8 классе с ответами "СР-1 Параллелограмм" (2 уровня по 2 варианта). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета).

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника..