СР-2 Трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат

Математическая вертикаль Геометрия (Волчкевич М.А./ под редакцией Ященко И.В.) Самостоятельная работа по геометрии в 8 классе с ответами «СР-2 Трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат» (2 уровня по 2 варианта). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета).
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.

Геометрия 8 класс (Волчкевич)
Самостоятельная работа № 2

Проверяемая тема учебника: §3 (2) Прямоугольник, ромб, квадрат. §4 (3) Трапеция.
Время выполнения: 40 минут.

СР-2 Базовый уровень (А). Вариант 1

№ 1. Укажите верные утверждения:
а) Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то он ромб.
б) Существует квадрат, который не является прямоугольником.
в) В любой трапеции есть тупой угол.
г) Четырёхугольник является прямоугольником, если противоположные стороны равны и параллельны.
ОТВЕТ: в).

№ 2. Один из углов ромба равен 150°, а его высота равна 3,5 см. Найдите периметр ромба.
ОТВЕТ: 28 см.
Дано: один из углов ромба ∠A = 150°; высота ромба h = 3,5 см.
Найти: периметр ромба P.
Решение:
1. Найдём смежный угол ромба.
В ромбе сумма соседних (смежных) углов равна 180°.
∠B = 180° ─ ∠A = 180° ─ 150° = 30°.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой.
Опустим высоту BH из вершины B на сторону AD.
Получим прямоугольный треугольник ABH, где: ∠H = 90° (BH — высота);
∠A = 150°, но в треугольнике ABH рассматриваем острый угол при основании, то есть ∠BAH = 180° ─ 150° = 30° (так как ∠A — внешний для треугольника ABH); BH = 3,5 см (высота).
3. Используем свойство прямоугольного треугольника с углом 30°.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
Здесь BH — катет против угла 30°, AB — гипотенуза.
BH = 1/2 • AB ⇒ AB = 2 • BH.
Подставляем значение высоты: AB = 2 • 3,5 = 7 (см).
4. Найдём периметр ромба. Все стороны ромба равны.
Периметр P — это сумма длин всех сторон:
P = 4 • AB = 4 • 7 = 28 (см).

№ 3. В трапеции ABCD стороны AB, BC и CD равны. Основание AD в два раза больше основания BC. Найдите угол CDA.
ОТВЕТ: ∠CDA = 60°.
Дано: трапеция ABCD, AD ∥ BC, AB = BC = CD, AD = 2 • BC.
Найти: ∠CDA — ?
Решение: CD = a, тогда AD = 2a
1. Проведём BE ∥ CD, E ∈ AD.
BCDE — параллелограмм ⇒ BE = CD = a, ED = BC = a.
2. AE = AD ─ ED = 2a ─ a = a.
В △ABE: AB = a, BE = a, AE = a ⇒ треугольник равносторонний ⇒ ∠BAE = 60°.
3. В равнобокой трапеции ∠BAD = ∠CDA.
Но ∠BAD = ∠BAE = 60° ⇒ ∠CDA = 60°.

№ 4. Докажите, что ромб является квадратом, если его сторона образует с диагоналями равные углы.
Дано : АВСD – ромб ; ВD и АС – диагонали ; О – точка пересечения диагоналей ; ∠ВАО = ∠АВО.
Доказать: АВСD – квадрат.
Решение: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, поэтому в ΔАВО угол АОВ прямой (90°). Тогда ∠ВАО = ∠АВО = 90° : 2 = 45°, и в равнобедренном ΔАВО АО = ВО, то есть половинки диагоналей равны. Следовательно, и диагонали равны. А ромб, у которого диагонали равны является квадратом, что и требовалось доказать.

№ 5. Точки M и K лежат на сторонах BC и CD квадрата ABCD. Известно, что углы AMK и AKM равны 70°. Найдите угол AMB.

ОТВЕТ: 65°.

СР-2 Базовый уровень (А). Вариант 2

№ 1. Укажите верные утверждения:
а) У любой трапеции боковые стороны равны.
б) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.
в) Диагонали прямоугольника являются биссектрисами его углов.
г) Существует квадрат, который не является ромбом.
ОТВЕТ: б).

№ 2. Один из углов ромба равен 120°, а его меньшая диагональ равна 4,5 см. Найдите периметр ромба.
ОТВЕТ: 18 см.
Дано: один из углов ромба ∠A = 120°; меньшая диагональ d = 4,5 см.
Найти: периметр ромба P.
Решение:
1. Найдём смежный угол ромба.
В ромбе сумма соседних углов равна 180°.
∠B = 180° ─ ∠A = 180° ─ 120° = 60°.
2. Рассмотрим свойства диагоналей ромба. Диагонали ромба:
─ пересекаются под прямым углом (90°);
─ делятся точкой пересечения пополам;
─ являются биссектрисами углов ромба.
Меньшая диагональ лежит напротив меньшего угла. Так как ∠B = 60°, то диагональ BD (меньшая) делит его на два угла по 30°.
3. Разберём треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба.
Пусть O — точка пересечения диагоналей. Рассмотрим △ABO:
─ ∠ABO = 30° (половина ∠B);
─ ∠AOB = 90° (диагонали перпендикулярны);
─ BO = d/2 = (4,5)/2 = 2,25 см (половина меньшей диагонали).
4. Используем свойство прямоугольного треугольника с углом 30°.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
Здесь BO — катет против угла 30°, AB — гипотенуза.
BO = 1/2 • AB ⇒ AB = 2 • BO.
Подставляем значение BO: AB = 2 • 2,25 = 4,5 (см).
5. Найдём периметр ромба. Все стороны ромба равны.
Периметр P — это сумма длин всех сторон:
P = 4 • AB = 4 • 4,5 = 18 (см).

№ 3. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом D угол BAD равен 45°, AD = 7, BC = 3. Найдите сторону CD.
ОТВЕТ: 4.
Дано: прямоугольная трапеция ABCD, ∠D = 90°, ∠BAD = 45°, AD = 7, BC = 3.
Решение: 1. Проведём высоту BH из B на AD.
Так как BC ∥ AD и BC = 3, HD = BC = 3.
2. Тогда AH = AD ─ HD = 7 ─ 3 = 4.
3. В прямоугольном треугольнике ABH угол BAH = 45°, значит, BH = AH = 4.
4. Так как BH = CD (оба — высоты), то CD = 4.

№ 4. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если его сторона образует с диагоналями углы, сумма которых равна 90°.
Доказательство:
1. Пусть ∠BAC = α, ∠ABD = β, α + β = 90°.
2. В треугольнике AOB: ∠AOB = 180° ─ (α + β) = 180° ─ 90° = 90°.
Значит, AC ⊥ BD.
3. В параллелограмме диагонали перпендикулярны тогда и только тогда, когда он — ромб.
Вывод: ABCD — ромб. Доказано.

№ 5. Точка Е – середина стороны BC параллелограмма ABCD. Известно, что углы EAD и EDA равны 50°. Найдите угол BAE.

ОТВЕТ: 40°.

СР-2 Углубленный уровень (Б). Вариант 1

№ 1. Укажите верные утверждения:
а) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
б) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
в) Диагонали квадрата делят его углы пополам.
г) Существует трапеция, все стороны которой различны.
ОТВЕТ: б, в, г.

№ 2. Угол между высотами ромба, проведенными из одной из его вершин, равен 30°. Высота ромба равна 5 см. Найдите периметр ромба.
ОТВЕТ: 40 см.

№ 3. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.
ОТВЕТ: см. в спойлере.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Основания трапеции ABCD равны 2 и 5, а боковая сторона CD равна 3. Угол BAD равен 63°. Найдите угол ADC.
ОТВЕТ: 54°.

№ 5. Два квадрата имеют общую вершину С. На прямую AC, проходящую через две другие их вершины, опустили перпендикуляры EK и DH. Докажите, что AH = CK.

РЕШЕНИЕ: Опустим перпендикуляр СL на AB.
∠CAD = 90° (угол квадрата)
∠DAH + ∠CAL = 180° – ∠CAD = 90°
∠DAH + ∠ADH = 90° (острые углы △ADH)
∠ADH = ∠CAL
AD = AC (стороны квадрата)
△ADH = △CAL (по гипотенузе и острому углу) => AH = CL
Аналогично △BEK = △CBL => BK = CL
Следовательно AH=BK.

СР-2 Углубленный уровень (Б). Вариант 2

№ 1. Укажите верные утверждения:
а) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
б) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
в) В любой трапеции к одной стороне прилежат тупые углы, а к другой — острые.
г) Все углы ромба равны.
ОТВЕТ: а, б.

№ 2. Высота ромба делит его сторону пополам. Чему равен угол между высотами ромба, проведенными из одной из его вершин?
ОТВЕТ: 60°.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Дано: ABCD — ромб; DH ⊥ AB; DH₁ ⊥ BC; AH = HB; BH₁ = HC₁.
Найти: ∠HDH₁.

Рисуем: На чертеже изображаем ромб ABCD. Из вершины D проводим высоты DH к стороне AB и DH₁ к стороне BC. Точки H и H₁ являются основаниями этих высот. По условию задачи, DH является не только высотой, но и медианой, так как AH = HB. Аналогично, DH₁ является медианой, так как BH₁ = HC₁. Необходимо найти величину угла ∠HDH₁.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник ABD. В нём отрезок DH является высотой и медианой. По свойству треугольника, если высота является медианой, то треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник ABD равнобедренный с основанием AB, и AD = BD.
2. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине. Значит, DH — биссектриса угла ∠ADB, и ∠ADH = ∠HDB.
3. Аналогично, рассмотрим треугольник BCD. В нём отрезок DH₁ является высотой и медианой (так как BH₁ = HC₁). Следовательно, треугольник BCD равнобедренный с основанием BC, и BD = CD.
4. DH₁ — биссектриса угла ∠CDB, и ∠CDH₁ = ∠H₁DB.
5. Так как ABCD — ромб, все его стороны равны: AD = AB = BC = CD. Из этого следует, что AD = CD.
6. Поскольку AD = BD (из п. 1) и BD = CD (из п. 3), то AD = BD = CD. Это означает, что треугольник ABD равносторонний, и треугольник BCD также равносторонний.
7. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Таким образом, ∠ADB = 60° и ∠CDB = 60°.
8. Из п. 2 и п. 4, а также из того, что ∠ADB = ∠CDB = 60°, следует, что ∠ADH = ∠HDB = ∠CDH₁ = ∠H₁DB = (60°)/2 = 30°.
9. Рассмотрим четырёхугольник HDH₁B. Сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна 360°.
10. Найдём величины углов четырёхугольника HDH₁B:
─ ∠B (или ∠ABC) — это угол ромба. Он состоит из углов ∠ABD и ∠CBD. Так как треугольники ABD и BCD равносторонние, то ∠ABD = 60° и ∠CBD = 60°. Следовательно, ∠ABC = 60° + 60° = 120°.
─ ∠BHD = 90°, так как DH ⊥ AB.
─ ∠BH₁D = 90°, так как DH₁ ⊥ BC.
─ ∠HDH₁ — это искомый угол.
11. Составим уравнение для суммы углов четырёхугольника HDH₁B:
∠ABC + ∠BHD + ∠BH₁D + ∠HDH₁ = 360°
120° + 90° + 90° + ∠HDH₁ = 360°
300° + ∠HDH₁ = 360°
∠HDH₁ = 360° ─ 300° = 60°
Ответ: 60°.

№ 3. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
ОТВЕТ: см. в спойлере

№ 4. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 5, а биссектриса угла A перпендикулярна стороне CD. Найдите AB.
ОТВЕТ: 3.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Дано: Трапеция ABCD с основаниями BC = 2 и AD = 5. Биссектриса угла A (обозначим её AH) перпендикулярна стороне CD.
Найти: длину стороны AB.
Решение. Шаг 1. Построение дополнительных элементов
1. Продолжим боковые стороны AB и DC до пересечения в точке E.
2. Поскольку AH — биссектриса угла A, то ∠BAH = ∠HAD.
3. По условию AH ⊥ CD, значит, ∠AHD = 90°.
Шаг 2. Анализ треугольников
Рассмотрим треугольники △AHD и △AHE:
─ AH — общая сторона;
─ ∠HAD = ∠HAE (так как AH — биссектриса);
─ ∠AHD = ∠AHE = 90° (по условию и построению).
Следовательно, △AHD = △AHE по катету и прилежащему острому углу.
Из равенства треугольников:
─ AD = AE = 5 (соответствующие стороны равных треугольников).
Шаг 3. Свойства трапеции и подобия
1. В трапеции ABCD основания BC ∥ AD.
2. Треугольники △EBC и △EAD подобны по двум углам (∠E — общий, ∠EBC = ∠EAD как соответственные при параллельных прямых).
3. Коэффициент подобия: k = (BC) / (AD) = 2/5.
4. Тогда: (EB) / (EA) = 2/5 ⇒ EB = 2/5 • EA = 2/5 • 5 = 2.
Шаг 4. Нахождение AB
Из построения: AB = AE ─ EB = 5 ─ 2 = 3.
Ответ: 3.

№ 5. Сторона квадрата равна 1. Расстояние от вершины до прямой, пересекающей две соседние его стороны, также равно 1. Найдите периметр отсеченного этой прямой от квадрата треугольника.

ОТВЕТ: 2.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Вы смотрели: Математическая вертикаль Геометрия (Волчкевич М.А./ под редакцией Ященко И.В.) Самостоятельная работа по геометрии в 8 классе с ответами «СР-2 Трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат» (2 уровня по 2 варианта). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета).