СР-3 Подобные фигуры

Математическая вертикаль Геометрия (Волчкевич М.А./ под редакцией Ященко И.В.) Самостоятельная работа по геометрии в 8 классе с ответами «СР-3 Подобные фигуры» (2 уровня по 2 варианта). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета).
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.

Геометрия 8 класс (Волчкевич)
Самостоятельная работа № 3

Проверяемая тема учебника: §7 (6) Подобные фигуры (Подобие фигур. Признаки подобия треугольников. Практикум по решению задач. Свойство биссектрисы треугольника. Замечательные точки трапеции. Деление отрезка в данном отношении. Отношение отрезков).
Время выполнения любого варианта: 40 минут.

СР-3 Базовый уровень (А). Вариант 1

№ 1. Укажите все верные утверждения:
а) Любые два прямоугольных треугольника подобны.
б) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
в) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум другим сторонам другого треугольника, и угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то такие треугольники подобны.
г) Коэффициент подобия — число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
ОТВЕТ: б), г).
Решение:
а) Неверно: у прямоугольных треугольников должен быть равен один острый угол или пропорциональны катеты, чтобы они были подобны.
б) Верно: это признак подобия по трём сторонам.
в) Неверно: угол должен быть между пропорциональными сторонами (признак подобия по двум сторонам и углу между ними), а здесь сказано «двум другим сторонам другого треугольника» — не обязательно соответствующим.
г) Верно: по определению коэффициента подобия.

№ 2. Точки М, N и K — середины сторон треугольника . Докажите, что треугольник MNK подобен треугольнику ABC.
Доказательство:
M — середина AB, N — середина BC, K — середина AC.
По свойству средней линии: MN ∥ AC, NK ∥ AB, MK ∥ BC.
Значит, ∠M = ∠A, ∠N = ∠B, ∠K = ∠C.
Также MN = 1/2 AC, NK = 1/2 AB, MK = 1/2 BC.
Стороны пропорциональны с коэффициентом 1/2, углы равны ⇒ треугольники подобны по определению.
Доказано.

№ 3. На фотографии, сделанной с земли на расстоянии 100 м от дома, видна только самая верхушка Останкинской башни. Найдите расстояние между домом и башней, если высота дома равна 20 м, а высота Останкинской башни — 540 м.
ОТВЕТ: 2600 м.
Решение: Пусть расстояние от дома до башни x м.
С земли фотографируют: луч зрения к верхушке дома и к верхушке башни идёт из одной точки (место фотографа). Получаем два подобных прямоугольных треугольника:
1) с катетами 100 м (расстояние до дома) и 20 м (высота дома);
2) с катетами 100 + x (расстояние до башни) и 540 м (высота башни).
Из подобия:
20/100 = 540/(100 + x)
1/5 = 540/(100 + x)
100 + x = 5 × 540 = 2700
x = 2600 (м).

№ 4. В подобных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ провели медианы BD и B₁D₁. Оказалось, что в 3 раза больше A₁D₁. Найдите отношение периметров треугольников  ABC и A₁B₁C₁.
ОТВЕТ: 3.
Решение: Медианы в подобных треугольниках относятся как коэффициент подобия.
AD и A₁D₁ — половины сторон AC и A₁C₁, значит, их отношение равно коэффициенту подобия k.
Дано: AD = 3 • A₁D₁ ⇒ k = 3.
Отношение периметров подобных треугольников равно k.

№ 5. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно таким образом, что AB = 3•AM и BC = 3•BN. Через вершину В провели прямую, параллельную стороне AC. Прямые CM и AN пересекают эту прямую в точках D и E соответственно. Найдите отношение DB ∶ BE.

ОТВЕТ: DB ∶ BE = 4 : 1.
Решение:
Пусть AM = x, тогда AB = 3x, MB = 2x.
Пусть BN = y, тогда BC = 3y, NC = 2y.
Прямая через B параллельна AC, пусть она пересекает продолжения CM и AN в D и E.
Рассмотрим △ AMC и △ DMB :
AC ∥ BD ⇒ △ AMC ∼ △ DMB по двум углам.
Коэффициент подобия: AM/MB = x/2x = (1/2).
Значит, AC/DB = (1/2) ⇒ DB = 2AC.
Рассмотрим △ ANC и △ ENB :
AC ∥ BE ⇒ △ ANC ∼ △ ENB.
NC/BN = 2y/y = 2 ⇒ AC/BE = 2 ⇒ BE = AC/2.
Тогда DB : BE = 2AC : AC/2 = 2 : (1/2) = 4 : 1.

---

 

СР-3 Базовый уровень (А). Вариант 2

№ 1. Укажите все верные утверждения:
а) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
б) Любые два равнобедренных треугольника подобны.
в) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум другим сторонам другого треугольника, и угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то такие треугольники подобны.
г) Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого, а их соответствующие стороны пропорциональны.
ОТВЕТ: а), г).

№ 2. Точки A, B и C — середины сторон треугольника MNK. Докажите, что треугольник MNK подобен треугольнику ABC.
ОТВЕТ: –

№ 3. На фотографии, сделанной с уровня земли на расстоянии 50 м от дома, видна только самая верхушка Останкинской башни. Найдите расстояние между домом и башней, если высота дома равна 30 м, а высота Останкинской башни — 540 м.
ОТВЕТ: 850 м.

№ 4. В подобных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ провели медианы AD и A₁D₁. Оказалось, что BD в 4 раза больше B₁D₁. Найдите отношение периметров треугольников ABC и A₁B₁C₁.
ОТВЕТ: 4.

№ 5. Точки K и L выбрана на сторонах CD и AB параллелограмма ABCD соответственно так, что KC = 2•DK и LA = 2•BL. Отрезки AK и CL пересекают диагональ BD в точках M и N соответственно. Найдите отношение BN ∶ NM ∶ MD.

ОТВЕТ: отношение 1 : 1: 1.

---

 

СР-3 Углубленный уровень (Б). Вариант 1

№ 1. В остроугольном треугольнике ABC высоты AK и CM пересекаются в точке O. Какие из перечисленных пар треугольников подобны?
а) △ABC ∼ △AOC;
б) △COK ∼ △AOM;
в) △AMC ∼ △CKA;
г) △AKB ∼ △CMB.
ОТВЕТ: б), г).
Решение:
Высоты в остроугольном треугольнике образуют ортотреугольник, и есть много подобных треугольников из─за равенства углов.
─ а) △ и △ : ∠ общий, но ∠ ≠ ∠ в общем случае, поэтому не обязательно подобны.
─ б) △ и △ : ∠ = ∠ (вертикальные), ∠ = ∠ (оба дополняют до 90° угол в треугольниках и ), значит, подобны по двум углам.
─ в) △ и △ : ∠ = ∠ = 90°, ∠ = ∠ (из прямоугольных треугольников с общей гипотенузой ? нет, не обязательно равны), поэтому не обязательно подобны.
─ г) △ и △ : ∠ = ∠ = 90°, ∠ = ∠ (общий угол ), значит, подобны по двум углам.
Поэтому только: б) и г).

 

№ 2. На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечена точка K. Прямая AK пересекает прямые BC и CD в точках L и M, при этом AK = 12, LK = 18, AD = 14. Найдите KM.

ОТВЕТ от авторов вопроса: 8.
ОТВЕТ, найденный через решение (в спойлере): 4,8.

№ 3. В выпуклом четырёхугольнике ABCD отметили середину O диагонали AC. Оказалось, что AD = 2•BC, AC = CD, а ∠OBC = ∠OCB. Докажите, что BC ∥ AD.
ОТВЕТ: см. в спойлере

№ 4. Точки M и K лежат на сторонах соответственно AB и BC треугольника ABC, отрезки AK и CM пересекаются в точке P. Известно, что каждый из отрезков AK и CM делится точкой P в отношении 2 ∶ 1, считая от их концов, являющихся вершинами исходного треугольника. Докажите, что AK и CM — медианы треугольника.
ОТВЕТ:см. в спойлере

№ 5. На сторонах PQ и PR треугольника QPR взяты точки A и B соответственно так, что ∠PAB = ∠PRQ. Отрезок AB пересекает биссектрису PC треугольника QPR в точке S. Найдите отношение PS ∶ SC, если известно, что AB = 2, а QR = 5.
ОТВЕТ от авторов вопроса: 2 : 3.
ОТВЕТ, найденные через решение (см. в спойлере):PS ∶ SC = 2:5.

 

СР-3 Углубленный уровень (Б). Вариант 2

№ 1. В остроугольном треугольнике ABC высоты AF и CE пересекаются в точке O. Какие из перечисленных пар треугольников подобны?
а) △EBC ∼ △FBA;
б) △AFC ∼ △CEA;
в) △ABC ∼ △AOC;
г) △AEO ∼ △CFO.
ОТВЕТ: а), г).

№ 2. На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечена точка K. Прямая AK пересекает прямые BC и CD в точках L и M, при этом AM = 10, LM = 5, AD = 8. Найдите AK.

ОТВЕТ: 6.

№ 3. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагональ BD делит угол B пополам, а BD² = AB • BC. Докажите, что ∠BAD = ∠BDC.
ОТВЕТ: –

№ 4. Точки K и N лежат на сторонах соответственно AB и AC треугольника ABC, отрезки BN и CK пересекаются в точке P. Известно, что каждый из отрезков BN и CK делится точкой P в отношении 2 ∶ 1, считая от их концов, являющихся вершинами исходного треугольника. Докажите, что P — точка пересечения медиан треугольника ABC.
ОТВЕТ: –

№ 5. На сторонах MN и NK треугольника MNK взяты точки A и B соответственно так, что ∠ABN = ∠NMK. Отрезок AB пересекает биссектрису NE треугольника MNK в точке F. Найдите отношение NF ∶ FE, если известно, что AB = 3, а MK = 5.
ОТВЕТ: отношение 3 : 2.

 

---

Вы смотрели: Математическая вертикаль Геометрия (Волчкевич М.А./ под редакцией Ященко И.В.) Самостоятельная работа по геометрии в 8 классе с ответами «СР-3 Подобные фигуры» (2 уровня по 2 варианта). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета).