Математическая вертикаль Геометрия (Волчкевич М.А./ под редакцией Ященко И.В.): Средние линии (Средние линии треугольника и трапеции. Теорема Вариньона для произвольного четырехугольника. Теорема о пересечении медиан треугольника). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета). Код материалов: Вертикаль Геометрия: §5 Средние линии.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.
Геометрия 8 класс (Волчкевич)
§5. СРЕДНИЕ ЛИНИИ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЗАДАЧИ №№ 1-35
№ 1. ★ Вершину треугольника соединяют с произвольными точками на его противоположной стороне. Докажите, что середины всех полученных отрезков лежат на одной прямой. (рис.)
№ 2. ★ Диагонали трапеции делят её среднюю линию на три равные части. Найдите отношение оснований трапеции.
№ 3. ★ Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, если её основания равны а и b. (рис.)
№ 4. ★ Основание треугольника равно 1. Найдите длину отрезка, который соединяет середины двух его медиан, проведённых к боковым сторонам треугольника.
№ 5. ★ Известно, что средние линии четырёхугольника равны. Докажите, что его диагонали перпендикулярны. (рис.)
№ 6. ★ Докажите, что средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке.
№ 7. ★ Две противоположные стороны шестиугольника параллельны и равны. Докажите, что середины четырёх остальных его сторон являются вершинами параллелограмма. (рис.)
№ 8. ★ Докажите, что точка пересечения биссектрис углов при боковой стороне трапеции лежит на её средней линии.
№ 9. ★★ Известно, что у четырёхугольника равны две противоположные стороны. Докажите, что прямая, проходящая через середины его диагоналей, образует с этими сторонами равные углы. (рис.)
№ 10. ★★ Прямая, проходящая через середины M и N диагоналей четырёхугольника, образует с его сторонами углы 50° и 80°. Докажите, что отрезок MN равен половине одной из сторон четырёхугольника. (рис.)
№ 11. ★★ Средняя линия четырёхугольника образует с его диагоналями равные углы. Докажите, что диагонали этого четырёхугольника равны. (рис.)
№ 12. ★★ Диагонали четырёхугольника равны, а одна из его средних линий в 2 раза меньше длины каждой из них. Найдите угол между этими диагоналями.
№ 13. ★★ Вершину треугольника соединили с точкой, делящей его основание в отношении 2 : 1. Полученный отрезок разбивает данный треугольник на два меньших треугольника. Докажите, что медиана одного из них равна медиане другого.
№ 14. ★★ Вершину треугольника соединили отрезком с серединой его медианы. Второй отрезок проходит через основание этой медианы и параллелен первому. Найдите отношение этих отрезков. (рис.)
№ 15. ★★ Докажите, что середины всех сторон треугольника и основание любой его высоты являются вершинами равнобедренной трапеции.
№ 16. ★★ Точка М — середина стороны ВС треугольника АВС. На его стороне АВ взяли такую точку К, что угол АКМ равен углу ВАС. Найдите длину отрезка МК, если АС = а. (рис.)
№ 17. ★★ Длины сторон АВ и ВС треугольника АВС равны а и b (а < b). На биссектрисе угла АВС взяли точку E так, что прямые МЕ и ВС параллельны. Найдите длину отрезка МЕ. (рис.)
№ 18. ★★ В трапеции ABCD основание AD в 2 раза больше основания BC. Из вершины D на сторону АВ опустили перпендикуляр DH. Докажите, что треугольник CHD равнобедренный. (рис.)
№ 19. ★★ В треугольнике медиана равна высоте, проведённой к другой его стороне. Найдите угол между этими высотой и медианой. (рис.)
№ 20. ★★ Точку на катете прямоугольного треугольника соединили отрезками с серединой его гипотенузы и вершиной, противоположной данному катету. При этом оказалось, что отмеченные на рисунке углы равны. В каком отношении данная точка делит катет? (рис.)
№ 21. ★★ Расстояния от двух точек A и B до некоторой прямой l равны p и q. Найдите расстояние от середины О отрезка АВ до этой прямой, если точки находятся: а) по одну сторону от прямой; б) по разные стороны от прямой. (рис.)
№ 22. ★★ Разрежьте квадрат на 3 части так, чтобы из них можно было сложить треугольник без равных сторон и прямых углов.
№ 23. ★★ Сторона квадрата равна 1. Каждая из отмеченных на рисунке точек является серединой своего отрезка. Найдите показанное на этом рисунке расстояние от точки O до стороны квадрата. (рис.)
№ 24. ★★ Прямая пересекает две соседние стороны параллелограмма. На неё из всех его вершин опущены перпендикуляры. Докажите, что один из них равен сумме трёх других. (рис.)
№ 25. ★★ На двух сторонах треугольника во внешнюю от него сторону построили квадраты. Докажите, что центры этих квадратов равноудалены от середины третьей стороны треугольника.
№ 26. ★★ Вершину параллелограмма соединили двумя отрезками с серединами противоположных от неё сторон параллелограмма. Оказалось, что эти отрезки перпендикулярны друг другу. Найдите отношение диагоналей параллелограмма. (рис.)
№ 27. ★ Постройте: а) треугольник; б) параллелограмм, если заданы середины всех его сторон.
№ 28. ★★ Постройте параллелограмм по одной вершине и серединам двух противоположных ей сторон. (рис.)
№ 29. ★★ На клетчатой бумаге изображены по 5 точек, рядом с которыми стоят их номера. Постройте 2 пятиугольника так, чтобы данные точки оказались в серединах сторон этих пятиугольников под теми же номерами. (рис.)
№ 30. ★★★ На доске нарисовали пятиугольник. Потом его стёрли, но оставили середины всех его сторон. Как по этим пяти точкам восстановить пятиугольник? (рис.)
№ 31. ★★★ На доске нарисовали семиугольник. Потом его стёрли, но оставили середины всех его сторон. Как по этим семи точкам восстановить семиугольник?
№ 32. ★★★ Середины двух противоположных сторон четырёхугольника соединили с его вершинами так, как показано на рисунке. Докажите, что середины полученных отрезков образуют параллелограмм или лежат на одной прямой. (рис.)
№ 33. ★★★ Два параллелограмма имеют общую вершину, а также по одной вершине на двух параллельных прямых. Докажите, что отрезок, соединяющий оставшиеся две вершины, параллелен данным прямым. (рис.)
№ 34. ★★★ На стороне ромба построили равносторонний треугольник. Отрезок, который соединяет центр ромба с серединой стороны треугольника, образует с ней угол 70°. Найдите острый угол ромба. (рис.)
№ 35. ★★★ В треугольнике взяли точку так, что отмеченные на рисунке углы равны. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из этой точки на боковые стороны треугольника, равноудалены от середины основания. (рис.)
Вы смотрели: Математическая вертикаль Геометрия (Волчкевич М.А./ под редакцией Ященко И.В.): Средние линии. Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета).