Решебник задач по геометрии из учебника Геометрия. 7-9 классы. УМК Атанасян до 2023 года. (Мнемозина). Ответы и решения на задачи №№ 363-444. Код материалов: ГДЗ Геометрия 8 Атанасян Глава V. Четырёхугольники.
Готовая домашняя работа:
Геометрия 8 класс Атанасян
Глава V. Четырёхугольники
§ 1. Многоугольники (Упр. 363 — 370)
пп.40-42. Многоугольники. Выпуклый многоугольник. Четырёхугольник.
№ 363. Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой–нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведённые диагонали каждый многоугольник?
№ 364. Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) шестиугольника; в) десятиугольника.
№ 365. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°?
№ 366. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.
№ 367. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвёртая — в три раза больше второй.
№ 368. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу.
№ 369. Найдите углы А, В и С выпуклого четырёхугольника ABCD, если ∠A = ∠B = ∠C, a ∠D = 135°.
№ 370. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.
ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ на Упр.363-370:
§ 2. Параллелограмм и трапеция (Упр. 371 — 398)
пп. 43-45. Параллелограмм. Признаки параллелограмма. Трапеция.
№ 371. □ Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: a) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DАС; б) АВ||CD, ∠A = ∠C.
№ 372. Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а) одна сторона на 3 см больше другой; б) разность двух сторон равна 7 см; в) одна из сторон в два раза больше другой.
№ 373. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠C = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.
№ 374. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = 9 см.
№ 375. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.
№ 376. Найдите углы параллелограмм: ABCD, если: a) ∠A = 84°; б) ∠A – ∠B = 55°; в) ∠A + ∠C = 142°; г) ∠А = 2∠В; д) ∠CAD = 16°, ∠ACD = 37°.
№ 377. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.
№ 378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
Решение:
Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 157) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую АВ. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой АВ, так как АВ||CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой АВ. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону от прямой АВ. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой АВ.
№ 379. □ Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ ≠ ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм.
№ 380. На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ = СР, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.
№ 381. На рисунке 163 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы О1А и О2В равны. Стержень АВ, длина которого равна расстоянию О1О2 между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки АВ и О1О2 либо параллельны, либо лежат на одной прямой.
№ 382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD, — параллелограмм.
№ 383. На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что РВ = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.
№ 384. Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.
Решение:
Через точку С проведём прямую, параллельную прямой АВ, и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 164). Так как AM = МВ по условию, а МВ = CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то AM = DC. Треугольники AMN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (AM = CD, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и MD), поэтому AN = NC.
№ 385. Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Решение
Пусть на прямой l отложены равные отрезки А1А2, А2А3, А3А4, … и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l2 в точках В1, В2, В3, В4, … (рис. 165). Требуется доказать, что отрезки В1В2, В2В3, В3В4, … равны друг другу. Докажем, например, что В1В2 = В2В3. Рассмотрим сначала случай, когда прямые l1 и l2 параллельны (рис. 165, а). Тогда A1А2 = В1В2 и А2А3 = В2В3 как противоположные стороны параллелограммов А1В1В2А2 и А2В2В3А3. Так как А1А2 = А2А3, то и В1В2 = В2В3. Если прямые l1 и l2 не параллельны, то через точку В1 проведём прямую l, параллельную прямой l1 (рис. 165, б). Она пересечёт прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С и D. Так как А1А2 = А2А3, то по доказанному B1C = CB. Отсюда получаем: B1B2 = B2B3 (задача 384). Аналогично можно доказать, что В2В3 = В3В4 и т. д.
№ 386. Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.
№ 387. Найдите углы В и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ∠A = 36°, ∠C =117°.
№ 388. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.
№ 389. Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.
№ 390. Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите остальные углы трапеции.
№ 391. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.
№ 392. □ Основания прямоугольной трапеции равны а и b, один из углов равен α. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если а = 4см, b = 7см, α = 60°; б) меньшую боковую сторону трапеции, если а = 10 см, b = 15 см, α = 45°.
№ 393. □ Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.
Решение:
в) Даны три отрезка M1N1, M2N2, M3N3 (рис. 166, а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам M1N1 и M2N2, а диагональ BD равна отрезку M3N3. Проведём решение задачи по схеме, описанной на с. 94.
Анализ.
Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. 166, б). Мы видим, что стороны треугольника ABD равны данным отрезкам M1N1, M2N2 и M3N3. Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трём сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллелограмма ABCD.
Построение.
Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны АВ, AD и BD равнялись соответственно отрезкам M1N1, M2N2 и M3N3 (как это сделать, мы знаем из курса 7 класса). Затем построим прямую, проходящую через точку В параллельно AD, и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно АВ (как это сделать, мы также знаем из курса 7 класса). Точку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. 166, в). Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.
Доказательство.
По построению АВ||CD и ВС||AD, поэтому ABCD — параллелограмм. Смежные стороны параллелограмма ABCD по построению равны отрезкам M1N1 и M2N2, а диагональ BD равна отрезку M3N3, т. е. параллелограмм ABCD — искомый.
Исследование.
Ясно, что если по трём данным отрезкам M1N1, M2N2 и M3N3 можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой–то из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух других, то треугольник ABD, а значит, и параллелограмм ABCD построить нельзя. Попробуйте самостоятельно доказать, что если задача имеет решение, то это решение единственно (см. п. 39).
№ 394. Даны три точки А, B и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?
№ 395. Даны острый угол hk и два отрезка P1Q1 и P2Q2. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между параллельными прямыми АВ и DC равнялось P1Q1, AB = P2Q2 и ∠A = ∠hk.
№ 396. Разделите данный отрезок АВ на п равных частей.
Решение:
Проведём луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нём от точки А отложим последовательно п равных отрезков АА1, АА2, …, Аn–1Аn (рис. 167), т. е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (на рисунке 167 n = 5). Проведём прямую АnB (точка Аn — конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А1, А2, …, Аn–1 и параллельные прямой АnВ.
Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В1, В2, …, Bn–1, которые по теореме Фалеса (задача 385) делят отрезок АВ на n равных частей.
№ 397. □ Постройте равнобедренную трапецию ABCD: а) по основанию AD, углу А и боковой стороне АВ; б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.
№ 398. □ Постройте прямоугольную трапецию ABCD по основаниям и боковой стороне AD, перпендикулярной к основаниям.
ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ на Упр.371-398:
§ 3. Прямоугольник, ромб, квадрат (упр. 399 — 423)
пп. 46-48. Прямоугольник. Ромб и квадрат. Осевая и центральная симметрии.
- □ Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.
- □ Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.
- Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.
- □ Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и АОВ равнобедренные.
- В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АОВ, если ∠CAD = 30°, АС = 12 см.
- □ Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
- □ В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.
- Найдите периметр ромба ABCD, в котором ∠B = 60°, АС= 10,5 см.
- Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45°.
- Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.
- □ Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.
- □ Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?
- □ В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.
- Даны равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, катетом АС = 12см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.
- □ Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.
- □ Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу.
- □ Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.
- □ Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.
- Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?
- Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О, F ?
- □ Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.
- □ Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.
- □ Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка АВ.
- Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?
- Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, X, К?
ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ на Упр.399-423:
Дополнительные задачи (424–444)
- Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.
- Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, АВ = 14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.
- Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
- Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.
- В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.
- Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°.
- Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.
- Точка К — середина медианы AM треугольника АВС. Прямая ВК пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что AD = 1/3 • АС.
- Точки М и N — середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят диагональ BD на три равные части.
- Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является биссектрисой угла КВМ.
- Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
- Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.
- Диагональ АС квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и CD соответственно в точках М и N. Найдите MN.
- На диагонали АС квадрата ABCD взята точка М так, что АМ = АВ. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная к прямой АС и пересекающая ВС в точке Н. Докажите, что ВН = НМ = МС.
- В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне CD, ∠B АС = ∠CAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, a ∠D = 60°.
- * □ Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
- * □ На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.
- Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.
- Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.
- Сколько центров симметрии имеет пара параллельных прямых?
- * □ Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.
ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ на Упр.424-444:
Вы смотрели: Решебник задач по геометрии из учебного пособия Геометрия. 7-9 классы. УМК Атанасян до 2023 года. (Мнемозина). Код материалов: ГДЗ Геометрия 8 Атанасян Глава V.
Очень ждем продолжения
Добавили главу 6 https://8класс.рф/gdz-geometrija-8-atanasjan-glava-vi/