1. Множество. Подмножество — Алгебра (угл.)

Часто в повседневной жизни объединённые по некоторому признаку объекты мы называем группой, объединением, коллекцией, совокупностью и т. п. Для этих слов в математике существует синоним множество.

Приведём несколько примеров множеств:

• множество учеников вашей школы;
• множество учеников вашей школы, являющихся призёрами школьной олимпиады по математике;
• множество федеральных округов России;
• множество двузначных чисел;
• множество пар чисел (х; у), являющихся решениями уравнения х² + у² = 1.

Отдельные множества в математике имеют названия:

• множество точек плоскости — геометрическая фигура;
• множество точек, обладающих заданным свойством, — геометрическое место точек (ГМТ);
• множество значений аргумента функции f — область определения функции f, которую обозначают D(f);
• множество значений функции f — область значений функции f, которую обозначают E(f).

Множества, элементами которых являются числа, называют числовыми множествами. Для некоторых числовых множеств используют специальные обозначения:

• множество натуральных чисел, обозначают буквой N;
• множество целых чисел, обозначают буквой Z;
• множество рациональных чисел, обозначают буквой Q.

Если элемент а принадлежит множеству A, то пишут а ∈ А (читают: «а принадлежит множеству A»). Если элемент b не принадлежит множеству A, то пишут b ∉ А (читают: «b не принадлежит множеству A»).

Например,   12 ∈ N,   –3 ∉ N,   2/3 ∈ Q, 2/3 ∉ Z,   a ∈ {a, b, c}.

Чаще всего множество задают одним из двух способов.

Первый способ. Множество задают перечислением всех его элементов.

Например, если М — множество натуральных чисел, меньших 5, то пишут М = {1, 2, 3, 4}.

Второй способ. Указывается характеристическое свойство элементов множества, т. е. свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Например, если х — произвольный элемент множества А, которое задано с помощью характеристического свойства его элементов, то пишут А = {х | …}. После вертикальной черты указывают условие, которому должен удовлетворять элемент х, чтобы принадлежать множеству А.

Рассмотрим несколько примеров.

• {х | х = Зn, n ∈ N} — множество натуральных чисел, кратных 3.
• {х | х(х² – 1) = 0} — множество корней уравнения х(х² – 1) = 0. Это множество равно множеству {–1, 0, 1}, которое, в свою очередь, можно задать с помощью другого характеристического свойства: {х | х ∈ Z, |х| < 2}. Имеем: {х | х(х² – 1) = 0} = {х | х ∈ Z, |х| < 2}.
• (x | [х] = 0} — множество чисел таких, что 0 < х < 1. Понятно, что {х | [х] = 0} = {х | 0 < х < 1}.
• Пусть (х; у) — координаты точки. Тогда множество точек {(х; у)|у = 2х – 1, х — любое число} — прямая, являющаяся графиком функции у = 2х – 1.

Вообще для точек координатной плоскости множество {(х; у) | у = f(x), х ∈ D{f) — это график функции f.

В геометрии, задавая множество точек с помощью характеристического свойства, мы тем самым задаём ГМТ.

• Если А, В — заданные точки плоскости, а X — произвольная точка этой плоскости, то множество {.X | ХА = ХВ} — серединный перпендикуляр отрезка АВ.

ПРИМЕР 1. Докажите, что множество А всех чётных натуральных чисел равно множеству В чисел, которые можно представить в виде суммы двух нечётных натуральных чисел.

Решение. Пусть х ∈ А. Тогда можно записать, что х = 2m, где m — натуральное число. Имеем: х = 2m – (2m – 1) + 1. Следовательно, х ∈ В.