3. Формула включения-исключения — Алгебра (угл.)

Если множество содержит конечное количество элементов, то его называют конечным, а если в нём бесконечно много элементов, то бесконечным. Пустое множество считают конечным.

Например, множество учащихся вашего класса — конечное множество, а множество натуральных чисел — бесконечное множество.

Если А — конечное множество, то количество его элементов обозначают так: n (A). Понятно, что n(∅) = 0.

Например, если А — это множество дней недели, то n(А) = 7; если В — это множество двузначных чисел, то n(В) = 90.

Пусть А и В — такие конечные множества, что А ∩ В = ∅. Тогда очевидно, что

n(A U В) = n(А) + n(В). (1)

Если А и В — конечные множества, причём А ∩ В = ∅ (рис. 3.1), то в сумму n(А) + n(В) дважды входит количество элементов их пересечения, т. е. дважды учитывается число п (А ∩ В). Следовательно, в этом случае

n(A U В) = n(А) + n(В) – n(А ∩ В). (2)

Если А ∩ В = 0, то n(А ∩ В) = 0. Поэтому формула (2) является обобщением формулы (1).

…