Математическая вертикаль Алгебра (п/р Ященко И.В.) Контрольная работа по алгебре в 8 классе с ответами «Функции» (углубленный уровень 2 варианта). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета). Код материала: Вертикаль Алгебра Ященко КР-6 Угл.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.
Алгебра 8 класс (Ященко)
Контрольная № 6 (угл.ур.)
Проверяемая тема учебника: Модуль 6. Функции.
Углубленный уровень. 1 вариант
Задача 1. Найдите область определения функции f(x) = -10 / √[x2 – 16].
Решение:
1. Знаменатель не может быть равен нулю: √{x² ─ 16} ≠ 0 ⇒ x² ─ 16 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 4.
2. Подкоренное выражение должно быть положительным, потому что в знаменателе стоит корень (корень из отрицательного числа не определён в действительных числах, а корень из нуля запрещён в знаменателе):
x² ─ 16 > 0.
3. Решаем неравенство:
x² > 16 ⇒ |x| > 4 ⇒ x < ─4 или x > 4.
✅ Ответ: D(f) = (─∞; ─4) ∪ (4; + ∞).
Задача 2. Найдите область значений функции у = √[121 – x2].
Решение:
1. Подкоренное выражение: 121 ─ x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 121 ⇒ |x| ≤ 11.
2. Минимальное значение 121 ─ x² равно 0 (при x = ± 11), тогда y_{min} = 0.
3. Максимальное значение 121 ─ x² равно 121 (при x = 0), тогда y_{max} = √121 = 11.
4. Функция непрерывна на [─11; 11], поэтому y принимает все значения от 0 до 11 включительно.
✅ Ответ: E(f) = [0; 11].
Задача 3. Запишите уравнение прямой, параллельной прямой у = –4x + 6 и проходящей через точку с координатами (–1; 2).
Решение:
1. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты: k = ─4.
2. Уравнение искомой прямой: y = ─4x + b.
3. Подставим координаты точки (─1; 2):
2 = ─4 • (─1) + b
2 = 4 + b
b = ─2.
4. Уравнение: y = ─4x ─ 2.
Проверка:
При x = ─1 : y = ─4 • (─1) ─ 2 = 4 ─ 2 = 2 — верно.
✅ Ответ: y = ─4x ─ 2.
Задача 4. На рисунке изображены графики четырёх линейных функций. Расположите номера этих графиков в порядке убывания угловых коэффициентов соответствующих им линейных функций.
Решение:
Угловой коэффициент k — это тангенс угла наклона прямой к оси Ox.
─ Чем больше k, тем круче поднимается прямая (при k > 0).
─ При k < 0 прямая убывает, и чем меньше k(например, ─10 меньше ─1), тем она круче вниз.
Порядок убывания k : сначала наибольшие положительные, затем меньшие положительные, затем нулевые, затем отрицательные (из отрицательных сначала те, что ближе к нулю). Поэтому график 3 имеет наибольший k, а график 1 — наименьший.
✅ Ответ: 3, 2, 4, 1.
Задача 5. Заполните таблицу значений функции у = –3x3 + 1.
| x | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| у = f(x) |
Вычисляем:
x = ─2 : y = ─3 • (─8) + 1 = 24 + 1 = 25
x = ─1 : y = ─3 • (─1) + 1 = 3 + 1 = 4
x = 0 : y = 1
x = 1 : y = ─3 • 1 + 1 = ─3 + 1 = ─2
x = 2 : y = ─3 • 8 + 1 = ─24 + 1 = ─23
✅ Ответ:
| x | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| у = f(x) | 82 | 25 | 4 | 1 | –2 | –23 | –80 |
Задача 6. Постройте графики функций y = –(x + 5)2 и y = –(x – 3)2. Найдите координаты точек пересечения этих графиков.
Решение:
1. Обе функции — параболы, ветви вниз (коэффициент при x² отрицательный), вершины:
─ y = ─(x + 5)² : вершина (─5; 0)
─ y = ─(x ─ 3)² : вершина (3; 0)
2. Приравняем:
─(x + 5)² = ─(x ─ 3)²
(x + 5)² = (x ─ 3)²
x² + 10x + 25 = x² ─ 6x + 9
10x + 25 = ─6x + 9
16x = ─16
x = ─1.
3. Подставим x = ─1 в любую функцию:
y = ─(─1 + 5)² = ─4² = ─16.
✅ Ответ: Графики пересекаются в точке (─1; ─16).
Задача 7. Постройте график функции f(х) = √[–2х].
Решение:
1. Область определения: ─2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0.
2. Это ветвь параболы, лежащая на боку: y = √{─2x} ⇒ y² = ─2x(при y ≥ 0), т.е. x = ─ (y²)/2.
3. График начинается в точке (0; 0), при уменьшении x(отрицательные значения) y растёт.
4. Таблица:
x = 0, y = 0
x = ─2, y = √4 = 2
x = ─8, y = √16 = 4 и т.д.
✅ Ответ: график в верхней полуплоскости, начинается в (0;0), уходит влево и вверх.
Задача 8. При каком значении х достигается наибольшее значение функции f(х) = 6 – |х + 1|?
Решение:
1. |x + 1| ≥ 0, поэтому 6 ─ |x + 1| ≤ 6.
2. Максимум будет, когда |x + 1| минимально, т.е. равно 0.
3. |x + 1| = 0 ⇒ x = ─1.
4. Тогда f_{max} = 6 ─ 0 = 6.
✅ Ответ: x = ─1.
(Официальный ответ от авторов: x = 1.)
Задача 9. Постройте график функции f(х) =
{ √{─x} + 1, x < 0,
{ х2 + 1 при х > 0.
Решение:
1. При x < 0 : y = √{─x} + 1.
Область: ─x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 — подходит для x < 0.
Это часть графика функции x = ─(y─1)² для y ≥ 1, но проще таблица:
x = ─4 ⇒ y = √4 + 1 = 3
x = ─1 ⇒ y = √1 + 1 = 2
x → 0^─ ⇒ y → 1.
2. При x > 0 : y = x² + 1 — парабола с вершиной (0;1), но точка x = 0 не входит.
x → 0^ + ⇒ y → 1.
3. В точке x = 0 функция не определена (разрыв, так как условия x<0 и x>0, x = 0 не включено).
4. График: слева от нуля — убывающая кривая от + ∞ (нет, при x → ─∞ y = √{─x} + 1 → + ∞) до 1, справа от нуля — парабола, начинающаяся чуть выше 1 и растущая.
✅ Ответ: График состоит из двух ветвей, не соединённых в точке x = 0.
Углубленный уровень. 2 вариант
Задача 1. Найдите область определения функции f(х) = 4 / √[x2 – 36].
Решение: Функция содержит квадратный корень в знаменателе.
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
x² ─ 36 ≥ 0
x² ≥ 36
x ≤ ─6 или x ≥ 6
2. Знаменатель не может быть равен нулю:
√{x² ─ 36} ≠ 0
x² ─ 36 ≠ 0
x ≠ ─6, x ≠ 6
3. Объединяя условия:
x < ─6 или x > 6
✅ Ответ: D(f) = (─∞; ─6) ∪ (6; + ∞).
Задача 2. Найдите область значений функции у = √[64 – х2].
Решение:
1. Подкоренное выражение:
64 ─ x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 64 ⇒ ─8 ≤ x ≤ 8
2. Минимальное значение 64 ─ x² равно 0 (при x = ± 8), тогда y_{min} = 0.
Максимальное значение 64 ─ x² равно 64 (при x = 0), тогда y_{max} = √64 = 8.
3. Функция непрерывна на отрезке [─8; 8], принимает все значения от 0 до 8.
✅ Ответ: E(y) = [0; 8].
Задача 3. Запишите уравнение прямой, параллельной прямой у = 5х – 2 и проходящей через точку с координатами (3; 8).
Решение:
1. У параллельных прямых одинаковые угловые коэффициенты: k = 5.
2. Уравнение искомой прямой: y = 5x + b.
3. Подставим точку (3; 8) :
8 = 5 • 3 + b
8 = 15 + b
b = ─7
4. Уравнение: y = 5x ─ 7.
Проверка:
При x = 3 : y = 5 • 3 ─ 7 = 15 ─ 7 = 8 — верно.
✅ Ответ: y = 5x ─ 7.
Задача 4. На рисунке изображены графики четырёх линейных функций. Расположите номера этих графиков в порядке убывания угловых коэффициентов соответствующих им линейных функций.
Решение:
Угловой коэффициент k — это тангенс угла наклона прямой к оси Ox.
Чем больше k, тем круче поднимается прямая (при k > 0), при k < 0 прямая убывает.
Порядок убывания k : сначала наибольшие положительные, затем меньшие положительные, затем отрицательные (чем больше отрицательное число, тем оно меньше).
Поэтому график 1 имеет наибольший k, а график 2 самый маленький k.
✅ Ответ: 1, 4, 3, 2.
Задача 5. Заполните таблицу значений функции у = ¼ • х3 – 2.
| х | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| у = f (х) |
Вычислим, например:
x = ─2: y = 1/4 • (─8) ─ 2 = ─2 ─ 2 = ─4
x = ─1: y = 1/4 • (─1) ─ 2 = ─0.25 ─ 2 = ─2.25
x = 0: y = 0 ─ 2 = ─2
x = 1: y = 1/4 • 1 ─ 2 = 0.25 ─ 2 = ─1.75
x = 2: y = 1/4 • 8 ─ 2 = 2 ─ 2 = 0
✅ Ответ:
| х | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| у = f (х) | –8,75 | –4 | –2,25 | –2 | –1,75 | 0 | 4,75 |
Задача 6. Постройте графики функций y = (x – 1)2 и y = (x + 5)2. Найдите координаты точек пересечения этих графиков.
Решение:
1. Приравняем:
(x ─ 1)² = (x + 5)²
x² ─ 2x + 1 = x² + 10x + 25
─2x + 1 = 10x + 25
─2x ─ 10x = 25 ─ 1
─12x = 24
x = ─2
2. Подставим x = ─2 в любую функцию:
y = (─2 ─ 1)² = (─3)² = 9
y = (─2 + 5)² = 3² = 9
3. Точка пересечения: (─2; 9).
Проверка:
Подставим x = ─2 в оба уравнения — получаем y = 9, верно.
✅ Ответ: Графики функций пересекаются в точке с координатами (–2; 9).
Задача 7. Постройте график функции f(х) = √[3х].
Решение:
1. Область определения: 3x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0.
2. Область значений: y ≥ 0.
3. Это ветвь параболы y² = 3x (правая ветвь, y ≥ 0).
4. Таблица значений:
x = 0: y = 0
x = 1: y = √3 ≈ 1.73
x = 3: y = 3
x = 1/3: y = 1
5. График начинается в точке (0; 0), идёт вправо─вверх.
✅ Ответ: График — верхняя половина параболы x = (y²)/3, при x ≥ 0.
Задача 8. При каком значении х достигается наименьшее значение функции (х) = 5 + |х – 4|
Решение:
1. |x ─ 4| ≥ 0, минимальное значение модуля равно 0 при x ─ 4 = 0, т.е. x = 4.
2. Тогда f_{min} = 5 + 0 = 5.
Проверка:
При x = 4 : f(4) = 5 + |0| = 5.
При x = 3 : f(3) = 5 + 1 = 6 > 5.
При x = 5 : f(5) = 5 + 1 = 6 > 5.
✅ Ответ: x = 4.
Задача 9. Постройте график функции f(x) =
{ √[–x], при x < 0,
{ –x2, при x ≥ 0.
Решение:
1. При x < 0 : y = √{─x} — это ветвь параболы y² = ─x(левая полуось x, y ≥ 0).
Например: x = ─4 ⇒ y = 2, x = ─1 ⇒ y = 1, x = 0^─ ⇒ y = 0.
2. При x ≥ 0 : y = ─x² — парабола ветвями вниз с вершиной в (0; 0).
Например: x = 0 ⇒ y = 0, x = 1 ⇒ y = ─1, x = 2 ⇒ y = ─4.
3. В точке x = 0 оба куска дают y = 0, функция непрерывна.
4. График: слева от нуля — верхняя половина параболы x = ─y², справа от нуля — обычная парабола y = ─x².
✅ Ответ: График состоит из двух частей: при x < 0 — кривая y = √{─x}, при x ≥ 0 — парабола y = ─x².
Контрольная работа № 6 (баз. уровень)
Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре в 8 классе с ответами «Функции» (2 уровня по 2 варианта). Код материала: Вертикаль Алгебра Ященко КР-6.