Математическая вертикаль Алгебра (п/р Ященко И.В.) Контрольная работа по алгебре в 8 классе с ответами «Функции» (2 уровня по 2 варианта). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета). Код материала: Вертикаль Алгебра Ященко КР-6.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.
Алгебра 8 класс (Ященко)
Контрольная № 6 (баз.ур.)
Проверяемая тема учебника: Модуль 6. Функции.
Базовый уровень. 1 вариант
Задача 1. Найдите область определения функции f(x) = –10 / √[x2 – 16].
Решение: Функция содержит квадратный корень в знаменателе.
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
x² ─ 16 ≥ 0
(x ─ 4)(x + 4) ≥ 0
Корни: x = 4 и x = ─4.
Решаем методом интервалов:
x ∈ (─∞; ─4] ∪ [4; + ∞).
2. Знаменатель не может быть равен нулю:
√{x² ─ 16} ≠ 0 ⇒ x² ─ 16 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4 и x ≠ ─4.
3. Объединяем условия:
Из первого пункта x ≤ ─4 или x ≥ 4,
из второго исключаем x = ± 4.
Получаем: x < ─4 или x > 4.
✅ Ответ: D(f) = (─∞; ─4) ∪ (4; + ∞).
Задача 2. Найдите область значений функции у = 7x2 – 5.
Решение: Функция y = 7x² ─ 5 — квадратичная, ветви вверх (коэффициент 7 > 0).
Минимальное значение достигается в вершине при x = 0 :
y_{min} = 7 • 0² ─ 5 = ─5.
При x → ±∞ значение y → + ∞.
Значит, область значений: от ─5 до + ∞, включая ─5.
✅ Ответ: E(f) = [─5; + ∞).
Задача 3. Запишите уравнение прямой, параллельной прямой у = – 4x + 6 и проходящей через точку с координатами (–1; 2).
Решение: Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.
У данной прямой k = ─4.
Искомая прямая: y = ─4x + b.
Подставляем координаты точки (─1; 2) :
2 = ─4 • (─1) + b
2 = 4 + b
b = ─2.
Уравнение: y = ─4x ─ 2.
Проверка: При x = ─1 : y = ─4 • (─1) ─ 2 = 4 ─ 2 = 2 — верно.
✅ Ответ: y = ─4x ─ 2.
Задача 4. Заполните таблицу значений функции у = –3x3 + 1.
Ответ:
Задача 5. Постройте графики функций y = –(x + 5)2 и y = –(x – 3)2. Найдите координаты точек пересечения этих графиков.
Решение: Обе функции — квадратные параболы, ветви вниз (коэффициент ─1).
Приравняем: ─(x + 5)² = ─(x ─ 3)²
Делим на ─1:
(x + 5)² = (x ─ 3)²
Раскрываем:
x² + 10x + 25 = x² ─ 6x + 9
10x + 25 = ─6x + 9
16x = ─16
x = ─1.
Подставляем x = ─1 в любую функцию, например в первую:
y = ─(─1 + 5)² = ─4² = ─16.
Точка пересечения: (─1; ─16).
Проверка для второй функции:
y = ─(─1 ─ 3)² = ─(─4)² = ─16 — верно.
✅ Ответ: Графики пересекаются в точке (─1; ─16).
Задача 6. Постройте график функции f(х) = 3√х.
Решение: Область определения: x ≥ 0.
Это обычная функция квадратного корня, растянутая в 3 раза по вертикали.
Несколько точек:
x = 0 ⇒ y = 0
x = 1 ⇒ y = 3
x = 4 ⇒ y = 6
x = 9 ⇒ y = 9
Строим плавную кривую, начинающуюся в (0; 0) и идущую вправо─вверх.
✅ Ответ: график — ветвь параболы y² = 9x (только верхняя часть, y ≥ 0).
Задача 7. При каком значении х достигается наибольшее значение функции f(х) = 6 – |х + 1|?
Решение: |x + 1| ≥ 0, поэтому 6 ─ |x + 1| ≤ 6.
Максимум будет, когда |x + 1| минимально, т.е. равно 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = ─1.
Тогда f(─1) = 6 ─ 0 = 6 — наибольшее значение.
✅ Ответ: x = ─1.
Задача 8. Постройте график функции f(х) =
{ √{─x} + 1, x < 0,
{ x² + 1, x ≥ 0.
Решение:
1. Для x ≥ 0 : y = x² + 1 — парабола с вершиной в (0; 1), ветви вверх.
Точки: (0; 1), (1; 2), (2; 5) и т.д.
2. Для x < 0 : y = √{─x} + 1.
Область определения: ─x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0, но по условию x < 0.
При x → 0^─ : ─x → 0^ +, y → 1.
При x = ─1 : y = √1 + 1 = 2
При x = ─4 : y = √4 + 1 = 3
При x = ─9 : y = √9 + 1 = 4
График — ветвь параболы, повёрнутая относительно оси y, сдвинутая на 1 вверх.
3. В точке x = 0 значение берётся из второй ветви: 0² + 1 = 1.
Левосторонний предел при x → 0^─ равен 1, значит, функция непрерывна в точке 0.
✅ Ответ: График состоит из правой ветви параболы y = x² + 1 (при x ≥ 0) и левой ветви кривой y = √{─x} + 1 (при x < 0), обе части соединяются в точке (0; 1).
Базовый уровень. 2 вариант
Задача 1. Найдите область определения функции f(x) = 4 / √ [x2 – 36].
Ответ: D(f) = (–∞; –6) U (6; +∞).
Задача 2. Найдите область значений функции y = –x2 + 2.
Ответ: E(f) = (–∞; 2].
Задача 3. Запишите уравнение прямой, параллельной прямой y = 5x – 2 и проходящей через точку с координатами (3; 8).
Ответ: y = 5x – 7.
Задача 4. Заполните таблицу значений функции у = ¼ * x3 – 2.
| x | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| у = f(x) |
Ответ:
| x | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| у = f(x) | –8,75 | –4 | –2,25 | –2 | –1,75 | 0 | 4,75 |
Задача 5. Постройте графики функций у = (x – 1)2 и у = (x + 5)2. Найдите координаты точек пересечения этих графиков.
Ответ: Графики функций пересекаются в точке с координатами (–2; 9).
Задача 6. Постройте график функции f(х) = –2√x.
Ответ:
Задача 7. При каком значении х достигается наименьшее значение функции f(х) = 5 + |х – 4| ?
Ответ: 4.
Задача 8. Постройте график функции f(х) =
{ √-x при х < 0,
{ -x2 при х ≥ 0.
Ответ:
Контрольная работа № 6 (угл. уровень)
Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре в 8 классе с ответами «Функции» (2 уровня по 2 варианта). Код материала: Вертикаль Алгебра Ященко КР-6.
Добавьте пожалуйста решения для углублённого уровня
Добавили — https://8класс.рф/вертикаль-алгебра-ященко-кр-6-угл/