Вертикаль Алгебра Ященко КР-5 баз.

Математическая вертикаль Алгебра (п/р Ященко И.В.) Контрольная работа по алгебре в 8 классе с ответами «Рациональные выражения и уравнения» Базовый уровень 2 варианта. Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета). Код материала: Вертикаль Алгебра Ященко КР-5 баз.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.

Алгебра 8 класс (Ященко)
Контрольная № 5 баз.ур.

Проверяемая тема учебника: Модуль 5. Рациональные выражения и уравнения

Базовый уровень. 1 вариант

► Задача 1. Установите соответствие между записью выражений с дробной чертой в левом столбце и записью в строчку в правом столбце.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
ОТВЕТ:
А Б В
3 1 2

► Задача 2. Укажите равенства, которые являются тождествами.

ОТВЕТ: 2, 3, 4.

► Задача 3. Сократите дробь (y√[-5x])/√[xy].
ОТВЕТ: –√[–5y].

► Задача 4. Решите уравнение (5x + 6)/(7x + 8) = 9/10.
ОТВЕТ: –12/13.

► Задача 5. Решите уравнение (y – 1)/((y – 1)(y – 2)) = y – 2.
ОТВЕТ: 3.

► Задача 6. Поля и Уля вместе пропалывают грядку за 45 минут, а одна Поля — за 126 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Уля?
ОТВЕТ: 70.

► Задача 7. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 30 км/ч. Обратно он летел на самолёте со средней скоростью 420 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути.
ОТВЕТ: 56 км/ч.

► Задача 8. Две турбазы расположены на реке, и расстояние между ними по реке составляет 36 км. Моторная лодка, двигаясь с постоянной скоростью, затрачивает 5 часов на рейс туда и обратно между этими турбазами. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
ОТВЕТ: 15 км/ч.

Решение некоторых задач Варианта 1

Задача 5. Уравнение:
\[
\frac{y-1}{(y-1)(y-2)} = y-2
\] Решение:
1. Область определения: знаменатель не равен нулю.
\[
(y-1)(y-2) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad y \neq 1, \; y \neq 2
\] 2. Упростим левую часть:
\[
\frac{y-1}{(y-1)(y-2)} = \frac{1}{y-2}, \quad y \neq 1
\] 3. Получаем уравнение:
\[
\frac{1}{y-2} = y-2
\] 4. Умножим обе части на \(y-2\) (с учётом \(y \neq 2\)):
\[
1 = (y-2)^2
\] 5. Решаем:
\[
y-2 = 1 \quad \text{или} \quad y-2 = -1
\] \[
y = 3 \quad \text{или} \quad y = 1
\] 6. Проверка области определения: \(y \neq 1, y \neq 2\).
Значит, \(y=1\) не подходит.
Остаётся \(y=3\).
Проверка для \(y=3\):
Левая часть: \(\frac{3-1}{(3-1)(3-2)} = \frac{2}{2 \cdot 1} = 1\)
Правая часть: \(3-2=1\).
Равенство верно.
✅ Ответ: \(y=3\).

Задача 6. Поля и Уля вместе пропалывают грядку за 45 минут, а одна Поля — за 126 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Уля?
Решение:
1. Пусть работа (грядка) = 1.
2. Производительность Поли: \(\frac{1}{126}\) (грядки в минуту).
3. Производительность Поли и Ули вместе: \(\frac{1}{45}\) (грядки в минуту).
4. Производительность Ули:
\[
\frac{1}{45} — \frac{1}{126}
\] 5. Приведём к общему знаменателю:
\[
\frac{1}{45} = \frac{14}{630}, \quad \frac{1}{126} = \frac{5}{630}
\] \[
\frac{14}{630} — \frac{5}{630} = \frac{9}{630} = \frac{1}{70}
\] 6. Значит, Уля пропалывает грядку за \(70\) минут.
✅ Ответ: 70 минут.

Задача 7. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 30 км/ч. Обратно он летел на самолёте со средней скоростью 420 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути.
Решение:
1. Пусть расстояние в одну сторону \(S\) км.
2. Время на яхте: \(t_1 = \frac{S}{30}\) ч.
3. Время на самолёте: \(t_2 = \frac{S}{420}\) ч.
4. Общее расстояние: \(2S\).
5. Общее время:
\[
t = \frac{S}{30} + \frac{S}{420} = S\left(\frac{1}{30} + \frac{1}{420}\right)
\] \[
\frac{1}{30} = \frac{14}{420}, \quad \frac{1}{30} + \frac{1}{420} = \frac{14+1}{420} = \frac{15}{420} = \frac{1}{28}
\] \[
t = \frac{S}{28}
\] 6. Средняя скорость:
\[
v_{\text{ср}} = \frac{2S}{t} = \frac{2S}{\frac{S}{28}} = 2 \cdot 28 = 56 \text{ км/ч}
\] ✅ Ответ: 56 км/ч.

Задача 8. Две турбазы расположены на реке, расстояние между ними 36 км. Моторная лодка, двигаясь с постоянной скоростью, затрачивает 5 часов на рейс туда и обратно между этими турбазами. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Решение:
1. Пусть \(x\) км/ч — скорость лодки в стоячей воде.
2. Скорость по течению: \(x+3\) км/ч.
3. Скорость против течения: \(x-3\) км/ч.
4. Время по течению: \(\frac{36}{x+3}\) ч.
5. Время против течения: \(\frac{36}{x-3}\) ч.
6. Уравнение:
\[
\frac{36}{x+3} + \frac{36}{x-3} = 5
\] 7. Умножим на \((x+3)(x-3)\):
\[
36(x-3) + 36(x+3) = 5(x^2 — 9)
\] \[
36x — 108 + 36x + 108 = 5x^2 — 45
\] \[
72x = 5x^2 — 45
\] \[
5x^2 — 72x — 45 = 0
\] 8. Дискриминант:
\[
D = (-72)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084
\] \[
\sqrt{D} = 78
\] \[
x = \frac{72 \pm 78}{10}
\] \[
x_1 = \frac{72+78}{10} = \frac{150}{10} = 15
\] \[
x_2 = \frac{72-78}{10} = \frac{-6}{10} = -0,6 \quad \text{(не подходит)}
\] 9. Проверка для \(x=15\):
По течению: \(15+3=18\) км/ч, время \(36/18=2\) ч.
Против течения: \(15-3=12\) км/ч, время \(36/12=3\) ч.
Общее время: \(2+3=5\) ч. Верно.
✅ Ответ: 15 км/ч.

---

 

Базовый уровень. 2 вариант

► Задача 1. Установите соответствие между записью выражений с дробной чертой в левом столбце и записью в строчку в правом столбце.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
ОТВЕТ:
А Б В
3 1 2

► Задача 2. Укажите равенства, которые являются тождествами.

ОТВЕТ: 2, 4, 5.

► Задача 3. Сократите дробь (b√[–10a])/√ab.
ОТВЕТ: –√[–10b].

► Задача 4. Решите уравнение (5x + 6)/(6x + 7) = 8/9.
ОТВЕТ: –2/3.

► Задача 5. Решите уравнение (y – 2)/((y – 2)(y – 3)) = y – 3.
ОТВЕТ: 4.

► Задача 6. Даша и Глаша вместе пропалывают грядку за 40 минут, а одна Даша — за 104 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Глаша?
ОТВЕТ: 65.

► Задача 7. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на самолёте со средней скоростью 380 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути.
ОТВЕТ: 38 км/ч.

► Задача 8. Две турбазы расположены на реке, и расстояние между ними по реке составляет 80 км. Моторная лодка, двигаясь с постоянной скоростью, затрачивает 9 часов на рейс туда и обратно между этими турбазами. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
ОТВЕТ: 18 км/ч.

Решение некоторых задач Варианта 2

Задача 5. Решите уравнение
\[
\frac{y-2}{(y-2)(y-3)} = y-3.
\] Решение:
1. Область определения: знаменатель не равен нулю.
\[
(y-2)(y-3) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad y \neq 2, \; y \neq 3.
\] 2. Упростим левую часть:
\[
\frac{y-2}{(y-2)(y-3)} = \frac{1}{y-3}, \quad \text{при } y \neq 2.
\] 3. Уравнение принимает вид:
\[
\frac{1}{y-3} = y-3.
\] 4. Умножим обе части на \(y-3\) (при \(y \neq 3\)):
\[
1 = (y-3)^2.
\] 5. Решаем:
\[
(y-3)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad y-3 = 1 \quad \text{или} \quad y-3 = -1.
\] \[
y = 4 \quad \text{или} \quad y = 2.
\] 6. Проверяем область определения: \(y \neq 2, y \neq 3\).
\(y=2\) не подходит (исключено в ОДЗ).
\(y=4\) подходит.
✅ Ответ: 4.

Задача 6. Даша и Глаша вместе пропалывают грядку за 40 минут, а одна Даша — за 104 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Глаша?
Решение:
1. Пусть производительность Даши — \( \frac{1}{104} \) грядки в минуту.
Производительность Глаши — \( \frac{1}{x} \) грядки в минуту, где \(x\) — время Глаши в минутах.
2. Вместе их производительность:
\[
\frac{1}{104} + \frac{1}{x} = \frac{1}{40}.
\] 3. Решаем уравнение:
\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{40} — \frac{1}{104}.
\] Приведём к общему знаменателю \(40 \cdot 104 = 4160\):
\[
\frac{1}{40} = \frac{104}{4160}, \quad \frac{1}{104} = \frac{40}{4160}.
\] \[
\frac{1}{x} = \frac{104 — 40}{4160} = \frac{64}{4160} = \frac{1}{65}.
\] 4. Значит, \(x = 65\) минут.
✅ Ответ: 65.

Задача 7. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на самолёте со средней скоростью 380 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути.
Решение:
1. Средняя скорость на всём пути — это весь путь, делённый на всё время.
Пусть расстояние в одну сторону равно \(S\) км.
2. Время на яхте: \(t_1 = \frac{S}{20}\) ч.
Время на самолёте: \(t_2 = \frac{S}{380}\) ч.
3. Общее время:
\[
t = \frac{S}{20} + \frac{S}{380} = S\left( \frac{1}{20} + \frac{1}{380} \right).
\] \[
\frac{1}{20} + \frac{1}{380} = \frac{19}{380} + \frac{1}{380} = \frac{20}{380} = \frac{1}{19}.
\] \[
t = \frac{S}{19}.
\] 4. Весь путь туда и обратно: \(2S\).
Средняя скорость:
\[
v_{\text{ср}} = \frac{2S}{t} = \frac{2S}{\frac{S}{19}} = 2 \cdot 19 = 38 \ \text{км/ч}.
\] ✅ Ответ: 38.

Задача 8. Две турбазы расположены на реке, и расстояние между ними по реке составляет 80 км. Моторная лодка, двигаясь с постоянной скоростью, затрачивает 9 часов на рейс туда и обратно между этими турбазами. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
Решение:
1. Пусть собственная скорость лодки \(v\) км/ч.
Скорость по течению: \(v+2\) км/ч.
Скорость против течения: \(v-2\) км/ч.
2. Время по течению: \( \frac{80}{v+2} \) ч.
Время против течения: \( \frac{80}{v-2} \) ч.
3. Общее время:
\[
\frac{80}{v+2} + \frac{80}{v-2} = 9.
\] 4. Делим обе части на 80:
\[
\frac{1}{v+2} + \frac{1}{v-2} = \frac{9}{80}.
\] 5. Приводим левую часть к общему знаменателю:
\[
\frac{(v-2)+(v+2)}{(v+2)(v-2)} = \frac{2v}{v^2-4} = \frac{9}{80}.
\] 6. Перекрёстно умножаем:
\[
2v \cdot 80 = 9(v^2 — 4).
\] \[
160v = 9v^2 — 36.
\] \[
9v^2 — 160v — 36 = 0.
\] 7. Решаем квадратное уравнение:
\[
D = (-160)^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896.
\] \[
\sqrt{D} = \sqrt{26896} = 164 \quad (\text{т.к. } 164^2 = 26896).
\] \[
v = \frac{160 \pm 164}{18}.
\] \[
v_1 = \frac{160+164}{18} = \frac{324}{18} = 18.
\] \[
v_2 = \frac{160-164}{18} = \frac{-4}{18} < 0 \quad \text{не подходит}.
\] 8. Проверка:
По течению: \(18+2=20\) км/ч, время \(80/20=4\) ч.
Против течения: \(18-2=16\) км/ч, время \(80/16=5\) ч.
Общее время: \(4+5=9\) ч — верно.
✅ Ответ: 18 км/ч.

 

Контрольная работа № 5 (углубл. уровень)

 

---

Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре в 8 классе с ответами «Рациональные выражения и уравнения» (2 уровня по 2 варианта). Код материала: Вертикаль Алгебра Ященко КР-5.

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.